"Chowla-셀베르그 공식"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
  
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* 복소이차수체 <math>K</math>, <math>d_K</math>는 판별식, 이차잉여에 대한 [[디리클레 L-함수]]는 다음을 만족시킴<br><math>L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})</math><br>
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* <math>d_K</math>를 판별식으로 갖는 복소이차수체 <math>K</math>에 대하여, [[디리클레 L-함수]]는 다음을 만족시킴<br><math>L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})</math><br>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">타원적분</h5>
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* [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]]에서 얻어진 공식<br><math>\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^n}}=\frac{1}{n}B(\frac{1}{2},\frac{1}{n})</math> 여기서 <math>n>0</math>.<br>
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* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br><math>4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math><br>
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br><math>6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots</math><br>
  
 
 
 
 

2010년 5월 26일 (수) 10:10 판

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개요
  • \(d_K\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(K\)에 대하여, 디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴
    \(L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\)

 

 

타원적분
  • 오일러 베타적분에서 얻어진 공식
    \(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^n}}=\frac{1}{n}B(\frac{1}{2},\frac{1}{n})\) 여기서 \(n>0\).

 

 

 

예
  • 디리클레 베타함수
    \(K=\mathbb{Q}(i)\)
    \(\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\)

 

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