Chowla-셀베르그 공식

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• Chowla-셀베르그 공식
  

 

 

개요

• Epstein 제타함수에 대한 공식과 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) 에의 응용
  

 

 

 

Epstein 제타함수

• 양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2\) (즉\(a>0\),\(\Delta=b^2-4ac<0\)) 에 대하여 다음과 같이 정의
  \(\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}\)
  

 

 

제1종 타원적분

• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) 에서는 다음과 같은 경우에 대하여, 타원적분의 값을 구체적으로 얻었다
  \(\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1\) 이면, \(K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\)
  \(\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}\) 이면, \(K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}\)
  \(\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}\) 이면, \(K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots\)
  
• lemniscate 곡선의 길이와 타원적분
  \(4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\)
  
• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
  \(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})\)
  \(6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots\)
  

 

 

Chowla-셀베르그의 정리

• (정리)
  \(i\frac{K'}{K}(k)=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}\) 가 \(d_K\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{d_K})\)의 원소일 때, 제1종타원적분 K에 대하여 다음이 성립한다.
  \({K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\{\prod_{m=1}^{|d_K|}\Gamma(\frac{m}{|d_K|})^{\left(\frac{d_K}{m}\right)}\}^{w_{K}/{4h_{K}}}\) 여기서 \(\lambda\)는 적당한 대수적수.
  

 

 

Chowla-셀베르그의 정리의 특수한 경우

• 소수 p에 대하여, 복소이차수체 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\)의 class number 가 1인 경우, 제1종타원적분 K에 대하여 다음이 성립한다.
  
• \(\frac{K'}{K}(k)=\sqrt{p}\) 를 만족시키는 k를 찾자.
  \(\frac{{K}(k)}{2\pi}=\frac{2^{1/3}(kk')^{-1/6}}{\sqrt{2\pi p}}\{\prod_{m=1}^{|d_K|}\Gamma(\frac{m}{|d_K|})^{\left(\frac{d_K}{m}\right)}\}^{w_{K}}\)
  
• \(p=3\)인 경우
  \(\frac[[:틀:K]]{2\pi}=\frac{2^{2/3}}{\sqrt{6\pi}}(\frac{\Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(\frac{2}{3})})^{3/2}\)
  
• \(p=7\)인 경우
  \(\frac[[:틀:K]]{2\pi}=\frac{2}{\sqrt{14\pi}}\sqrt{\frac{\Gamma(\frac{1}{7})\Gamma(\frac{2}{7})\Gamma(\frac{4}{7})}{\Gamma(\frac{3}{7})\Gamma(\frac{5}{7})\Gamma(\frac{6}{7})}}\)
  

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

메모

• p-adic case Gross-Koblitz form
  

 

 

관련된 항목들

• 데데킨트 에타함수
  
• Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식
  
• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
  
• 렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분
  
• 감마함수
  

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Chowla-Selberg_formula
• http://en.wikipedia.org/wiki/Sarvadaman_Chowla
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics
  
  • Baas, Nils A.; Skau, Christian F. (2008), Bull. Amer. Math. Soc. 45: 617–649,
  • Interview with Selberg
• On the periods of abelian integrals and a formula of Chowla and Selberg
  
  • Benedict H. Gross, Inventiones Mathematicae, Volume 45, Number 2 / 1978년 6월
• On Epstein's Zeta-function
  
  • S. Chowla; A. Selberg, J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967
• On Epstein's Zeta Function (I)
  
  • S. Chowla and A. Selberg Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374
• On Epstein's Zeta Function
  
  • Max F. Deuring, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/

 

관련도서

•  
• Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker A.Weil, Springer, 1998