Chowla-셀베르그 공식

개요

• Epstein 제타함수에 대한 공식과 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) 에의 응용

Epstein 제타함수

• Epstein 제타함수
• 양의 정부호인 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) \(Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2\) (즉\(a>0\),\(\Delta=b^2-4ac<0\)) 에 대하여 다음과 같이 정의

\[\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}\]

제1종 타원적분

• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) 에서는 다음과 같은 경우에 대하여, 타원적분의 값을 구체적으로 얻었다

\[\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1 \Rightarrow K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\] \[\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2} \Rightarrow K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}\] \[\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3} \Rightarrow K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots\]

• lemniscate 곡선의 길이와 타원적분\[4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\]
• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})\]\[6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots\]

Chowla-셀베르그의 정리

• (정리)

$k$에 대하여, 다음의 값 \[i\frac{K'}{K}(k):=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}\] 이 \(d_K\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{d_K})\)의 원소일 때, 제1종타원적분 K에 대하여 다음이 성립한다.\[{K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\{\prod_{m=1}^{|d_K|}\Gamma(\frac{m}{|d_K|})^{\left(\frac{d_K}{m}\right)}\}^{w_{K}/{4h_{K}}}\] 여기서 \(\lambda\)는 적당한 대수적수.

Chowla-셀베르그의 정리의 특수한 경우

• 소수 p에 대하여, 복소이차수체 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\)의 class number 가 1인 경우, 제1종타원적분 K에 대하여 다음이 성립한다.
• \(\frac{K'}{K}(k)=\sqrt{p}\) 를 만족시키는 k를 찾자.\[\frac{K(k)}{2\pi}=\frac{2^{1/3}(kk')^{-1/6}}{\sqrt{2\pi p}}\{\prod_{m=1}^{|d_K|}\Gamma(\frac{m}{|d_K|})^{\left(\frac{d_K}{m}\right)}\}^{w_{K}}\]
• \(p=3\)인 경우\[\frac{K}{2\pi}=\frac{2^{2/3}}{\sqrt{6\pi}}(\frac{\Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(\frac{2}{3})})^{3/2}\]
• \(p=7\)인 경우\[\frac{K}{2\pi}=\frac{2}{\sqrt{14\pi}}\sqrt{\frac{\Gamma(\frac{1}{7})\Gamma(\frac{2}{7})\Gamma(\frac{4}{7})}{\Gamma(\frac{3}{7})\Gamma(\frac{5}{7})\Gamma(\frac{6}{7})}}\]

역사

• 수학사연표

메모

• p-adic case Gross-Koblitz form

관련된 항목들

• 데데킨트 에타함수
• Epstein 제타함수
• 크로네커 극한 공식
• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
• 렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분
• 감마함수

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Chowla-Selberg_formula
• http://en.wikipedia.org/wiki/Sarvadaman_Chowla

리뷰, 에세이, 강의노트

• The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics
  • Baas, Nils A.; Skau, Christian F. (2008), Bull. Amer. Math. Soc. 45: 617–649,
  • Interview with Selberg

관련논문

• Van der Poorten, Alfred, and Kenneth S. Williams. 1999. “Values of the Dedekind Eta Function at Quadratic Irrationalities.” Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathématiques 51 (1): 176–224. doi:10.4153/CJM-1999-011-1.
• On the periods of abelian integrals and a formula of Chowla and Selberg
  • Benedict H. Gross, Inventiones Mathematicae, Volume 45, Number 2 / 1978년 6월
• On Epstein's Zeta-function
  • S. Chowla; A. Selberg, J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967
• On Epstein's Zeta Function (I)
  • S. Chowla and A. Selberg Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374
• On Epstein's Zeta Function
  • Max F. Deuring, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593

관련도서

• Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker A.Weil, Springer, 1998