그린 정리

개요

• 스토크스 정리의 특수한 경우\[\iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, {d}A=\oint_{\partial D} (P\, {d}x + Q\, {d}y)\]

폐곡선에 둘러싸인 영역의 넓이

• 폐곡선 C에 둘러싸인 영역의 넓이는 다음 공식으로 주어진다 \[A=\oint_{C} x dy = \oint_{C} - y dx =\frac{1}{2}\oint_{C} x dy-y dx\]

증명

면적은 \(A= \iint_{D} 1 \, {d}A\)으로 주어지므로, 그린 정리를 이용하여 다음 각각의 경우 \(P,Q\) 가 \(\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)=1\)을 만족함을 보이면 된다.

• \(P=0,Q=x\)
• \(P=-y,Q=0\)
• \(P=-y/2,Q=x/2\)

꼭지점이 주어진 다각형의 넓이

• 평면위의 점 $P_i=(x_i,y_i), i=0,1,\cdots, n-1$을 꼭지점으로 갖는 n-각형 $\overline{P_0P_1\cdots P_{n-1}}$의 넓이 $A$는 다음으로 주어진다 $$A=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}x_iy_{i+1}-y_ix_{i+1}$$ 이 때, $(x_{n},y_{n})=(x_{0},y_{0}).$ 이다

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

메모

• Digital planimeter demonstration
• How does the planimeter work?

관련된 항목들

• 각원소벡터장
• 선적분
• 타원의 넓이
• 픽의 정리(Pick's Theorem)

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/그린정리
• http://en.wikipedia.org/wiki/Green_theorem

관련논문

• Connectivity and Smoke-Rings: Green's Second Identity in Its First Fifty Years
  
  • Thomas Archibald, , Math. Mag. 62 (1989), 219-232
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/