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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">로저스-라마누잔 항등식</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">로저스-라마누잔 항등식</h5> | ||
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| + | * [http://books.google.com/books?id=ECnHLtiCiNsC&pg=PA9&lpg=PA9&dq=defeated+me+completely;+I+had+never+seen+anything&source=bl&ots=hID1ovbSq-&sig=ssoIWC-w9QB2iUE-SF8tbyiCxz8&hl=en&ei=UAqJStijIoSmsgOGouDpAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=7#v=onepage&q=&f=false 라마누잔의 식을 본 하디의 평가] | ||
* 이 항등식은 통계물리의 Lee-Yang 모델과 밀접하게 관련되어 있음 | * 이 항등식은 통계물리의 Lee-Yang 모델과 밀접하게 관련되어 있음 | ||
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* [http://www.ams.org/bull/2005-42-02/S0273-0979-05-01047-5/home.html#References Continued fractions and modular functions]<br> | * [http://www.ams.org/bull/2005-42-02/S0273-0979-05-01047-5/home.html#References Continued fractions and modular functions]<br> | ||
** W. Duke, Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 137-162 | ** W. Duke, Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 137-162 | ||
| − | * Ramanujan's "Lost Notebook" and the Virasoro Algebra Antun Milas, Commun.Math.Phys. 251 (2004) 567-588 | + | * [http://arxiv.org/abs/math/0309201 Ramanujan's "Lost Notebook" and the Virasoro Algebra]<br> |
| + | ** Antun Milas, Commun.Math.Phys. 251 (2004) 567-588 | ||
* [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.31.5875 Ramanujan’s formulas for the explicit evaluation of the Rogers–Ramanujan continued fraction and theta-functions]<br> | * [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.31.5875 Ramanujan’s formulas for the explicit evaluation of the Rogers–Ramanujan continued fraction and theta-functions]<br> | ||
** Soon-Yi Kang, ACTA ARITHMETICA XC.1 (1999) | ** Soon-Yi Kang, ACTA ARITHMETICA XC.1 (1999) | ||
2009년 8월 29일 (토) 09:26 판
간단한 소개
- 라마누잔이 하디에게 보낸 편지에는 다음과 같은 공식이 포함되어 있음
\(\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots\)
- \(\varphi\) 는 황금비
로저스-라마누잔 항등식
\(G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots\)
\(H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots\)
\((a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})\)
로저스-라마누잔 연분수
\( \frac{G(q)}{H(q)} = 1+\frac{q}{1+\frac{q^2}{1+\frac{q^3}{1+\cdots}}}\)
\(r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}\)
여기서 \(q=e^{2\pi i\tau}\).
\(\tau=i\) 인 경우에 값을 계산할 수 있다면, 위의 값을 얻을 수 있다.
\(r(i)=\cfrac{e^{\frac{-2\pi}{5}}}{1+\cfrac{e^{-2\pi}}{1+\cfrac{e^{-4\pi}}{1+\cfrac{e^{-6\pi}}{1+\cdots}}}}\)
modularity
- 로저스-라마누잔 함수는 약간의 수정을 통해 modularity를 가짐
\(q^{-1/60}G(q) = q^{-1/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {q^{-1/60}}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}\)
\(q^{11/60}H(q) =q^{11/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = q^{11/60}\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} \) - 데데킨트 에타함수가 갖는 modularity와의 유사성
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
j-invariant 와의 관계
\((r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^3+j(\tau)r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^5=0\)
여기서, \(j(\tau)\) 는 j-invariant
\( j(\sqrt{-1})=1728\)를 이용하고 방정식의 해를 계산.
데데킨트 \(\eta\) 함수와의 관계
- 데데킨트 에타함수 와는 다음과 같은 관계를 만족시킨다
\(\frac{1}{r(5\tau)}-r(5\tau)-1=\frac{\eta(\tau)}{\eta(25\tau)}\)
\(\frac{1}{r(-\frac{1}{5\tau})}-r(-\frac{1}{5\tau})-1=\frac{\eta(-\frac{1}{25\tau})}{\eta(-\frac{1}{\tau})}\)
- 에타함수의 modularity
\(\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)\)
\(\eta(-\frac{1}{25\tau}) =\sqrt{\frac{25\tau}{i}}\eta(25\tau)\)
\(\frac{\eta(\tau)}{\eta(25\tau)}\frac{\eta(-\frac{1}{25\tau})}{\eta(-\frac{1}{\tau})}=5\)
- 양변을 곱하여 다음 식을 얻는다.
\((\frac{1}{r(5\tau)}-r(5\tau)-1)(\frac{1}{r(-\frac{1}{5\tau})}-r(-\frac{1}{5\tau})-1)=5\)
\(\tau=\frac{i}{5}\) 인 경우, \((\frac{1}{r(i)}-r(i)-1)^2=5\) 를 얻고, 방정식을 풀 수 있음.
하위주제들
하위페이지
재미있는 사실
- 라마누잔의 식을 본 하디의 평가
- 이 항등식은 통계물리의 Lee-Yang 모델과 밀접하게 관련되어 있음
관련된 단원
많이 나오는 질문
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 다른 주제들
관련도서 및 추천도서
- Number Theory in the Spirit of Ramanujan
- Bruce C. Berndt
- 도서내검색
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참고할만한 자료
- Continued fractions and modular functions
- W. Duke, Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 137-162
- Ramanujan's "Lost Notebook" and the Virasoro Algebra
- Antun Milas, Commun.Math.Phys. 251 (2004) 567-588
- Ramanujan’s formulas for the explicit evaluation of the Rogers–Ramanujan continued fraction and theta-functions
- Soon-Yi Kang, ACTA ARITHMETICA XC.1 (1999)
- Explicit evaluations of the Rogers-Ramanujan continued fraction.
- Berndt, B.C,Chan, H.H.,Zhang, L.-C., Journal für die reine und angewandte Mathematik 480, 1996
- A Motivated Proof of the Rogers-Ramanujan Identities
- George E. Andrews and R. J. Baxter, The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 5 (May, 1989), pp. 401-409
- Watson, G. N.
- http://ko.wikipedia.org/wiki/연분수
- http://en.wikipedia.org/wiki/Rogers-Ramanujan_identities
- http://en.wikipedia.org/wiki/Rogers%E2%80%93Ramanujan_continued_fraction
관련기사
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