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<math>\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots</math> | <math>\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots</math> | ||
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<math>G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = | <math>G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = | ||
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<math>R(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)\cdots(1-q^n)}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}</math> | <math>R(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)\cdots(1-q^n)}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}</math> | ||
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* 로저스-라마누잔 함수는 약간의 수정을 통해 modularity를 가짐<br><math>q^{-1/60}G(q) = q^{-1/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {q^{-1/60}}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}</math><br><math>q^{11/60}H(q) =q^{11/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = q^{11/60}\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} </math><br> | * 로저스-라마누잔 함수는 약간의 수정을 통해 modularity를 가짐<br><math>q^{-1/60}G(q) = q^{-1/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {q^{-1/60}}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}</math><br><math>q^{11/60}H(q) =q^{11/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = q^{11/60}\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} </math><br> | ||
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* [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.31.5875 Ramanujan’s formulas for the explicit evaluation of the Rogers–Ramanujan continued fraction and theta-functions]<br> | * [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.31.5875 Ramanujan’s formulas for the explicit evaluation of the Rogers–Ramanujan continued fraction and theta-functions]<br> | ||
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* [http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=loader&tx_jkDigiTools_pi1%5BIDDOC%5D=503543 Explicit evaluations of the Rogers-Ramanujan continued fraction.]<br> | * [http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=loader&tx_jkDigiTools_pi1%5BIDDOC%5D=503543 Explicit evaluations of the Rogers-Ramanujan continued fraction.]<br> | ||
** Berndt, B.C,Chan, H.H.,Zhang, L.-C., Journal für die reine und angewandte Mathematik 480, 1996 | ** Berndt, B.C,Chan, H.H.,Zhang, L.-C., Journal für die reine und angewandte Mathematik 480, 1996 | ||
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<h5>관련기사</h5> | <h5>관련기사</h5> | ||
2009년 11월 29일 (일) 11:48 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
간단한 소개
- 라마누잔이 하디에게 보낸 편지에는 다음과 같은 공식이 포함되어 있음
\(\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots\)
- \(\varphi\) 는 황금비
로저스-라마누잔 항등식
\(G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots\)
\(H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots\)
\((a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})\)
로저스-라마누잔 연분수
\(R(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)\cdots(1-q^n)}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}\)
\(H(q)=R(q), G(q)=R(1)\)
(정리)
\(R(z)=R(zq)+zqR(zq^2)\)
증명
\(R(zq)=\sum_{n\geq 0}\frac{(zq)^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2+n}}{(1-q)_q^n}\)
\(R(zq^2)=\sum_{n\geq 0}\frac{(zq^2)^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2+2n}}{(1-q)_q^n}\)
\(zqR(zq^2)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^{n+1}q^{(n+1)^2}}{(1-q)_q^n}=\sum_{n\geq 1}\frac{z^{n}q^{n^2}}{(1-q)_q^{n-1}}\)
\(R(zq)+zqR(zq^2)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2+n}}{(1-q)_q^n}+\sum_{n\geq 1}\frac{z^{n}q^{n^2+n}}{(1-q)_q^{n-1}}\)
\(R(zq)+zqR(zq^2)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2+n}}{(1-q)_q^n}+\sum_{n\geq 1}\frac{z^{n}q^{n^2}}{(1-q)_q^{n-1}} \\ =1+ \sum_{n\geq 1}\frac{z^nq^{n^2+n}+z^nq^{n^2}(1-q^n)}{(1-q)_q^n} \\ =1+\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n} = R(z)\) (증명끝)
이 정리로부터 \(R(q^n)=R(q^{n+1})+q^{n+1}R(q^{n+2})\)
즉 \(\frac{R(q^{n+1})}{R(q^n)}=\cfrac{1}{1+q^{n+1}\cfrac{R(q^{n+2})}{R(q^{n+1})}}\)를 얻는다.
\(\frac{H(q)}{G(q)}=\cfrac{R(q)}{R(1)} = \cfrac{1}{1+q\cfrac{R(q^2)}{R(q)}}=\cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+q^2\cfrac{R(q^3)}{R(q^2)}}}=\cdots\)
이를 반복하면, 다음을 얻는다.
\(\frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}\)
모듈라 성질
- 로저스-라마누잔 함수는 약간의 수정을 통해 modularity를 가짐
\(q^{-1/60}G(q) = q^{-1/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {q^{-1/60}}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}\)
\(q^{11/60}H(q) =q^{11/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = q^{11/60}\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} \) - 데데킨트 에타함수가 갖는 modularity와의 유사성
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
모듈라
\(r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}\)
여기서 \(q=e^{2\pi i\tau}\).
\(\tau=i\) 인 경우에 값을 계산할 수 있다면, 위의 값을 얻을 수 있다.
\(r(i)=\cfrac{e^{\frac{-2\pi}{5}}}{1+\cfrac{e^{-2\pi}}{1+\cfrac{e^{-4\pi}}{1+\cfrac{e^{-6\pi}}{1+\cdots}}}}\)
j-invariant 와의 관계
\((r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^3+j(\tau)r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^5=0\)
여기서, \(j(\tau)\) 는 j-invariant
\( j(\sqrt{-1})=1728\)를 이용하고 방정식의 해를 계산.
데데킨트 \(\eta\) 함수와의 관계
- 데데킨트 에타함수 와는 다음과 같은 관계를 만족시킨다
\(\frac{1}{r(5\tau)}-r(5\tau)-1=\frac{\eta(\tau)}{\eta(25\tau)}\)
\(\frac{1}{r(-\frac{1}{5\tau})}-r(-\frac{1}{5\tau})-1=\frac{\eta(-\frac{1}{25\tau})}{\eta(-\frac{1}{\tau})}\)
- 에타함수의 modularity
\(\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)\)
\(\eta(-\frac{1}{25\tau}) =\sqrt{\frac{25\tau}{i}}\eta(25\tau)\)
\(\frac{\eta(\tau)}{\eta(25\tau)}\frac{\eta(-\frac{1}{25\tau})}{\eta(-\frac{1}{\tau})}=5\)
- 양변을 곱하여 다음 식을 얻는다.
\((\frac{1}{r(5\tau)}-r(5\tau)-1)(\frac{1}{r(-\frac{1}{5\tau})}-r(-\frac{1}{5\tau})-1)=5\)
\(\tau=\frac{i}{5}\) 인 경우, \((\frac{1}{r(i)}-r(i)-1)^2=5\) 를 얻고, 방정식을 풀 수 있음.
하위주제들
하위페이지
재미있는 사실
- 라마누잔의 식을 본 하디의 평가
- 이 항등식은 통계물리의 Lee-Yang 모델과 밀접하게 관련되어 있음
관련된 단원
많이 나오는 질문
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 다른 주제들
- The modular group, j-invariant and the singular moduli
- 오차방정식과 정이십면체
- 초기하급수(Hypergeometric series)
- q-초기하급수(q-hypergeometric series)
관련도서 및 추천도서
- Number Theory in the Spirit of Ramanujan
- Bruce C. Berndt
- 도서내검색
- 도서검색
참고할만한 자료
- Continued fractions and modular functions
- W. Duke, Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 137-162
- Ramanujan's "Lost Notebook" and the Virasoro Algebra
- Antun Milas, Commun.Math.Phys. 251 (2004) 567-588
- Ramanujan’s formulas for the explicit evaluation of the Rogers–Ramanujan continued fraction and theta-functions
- Soon-Yi Kang, ACTA ARITHMETICA XC.1 (1999)
- #
- Bruce C. Berndt , Heng Huat Chan , Liang-Cheng Zhang, 1997
- Explicit evaluations of the Rogers-Ramanujan continued fraction.
- Berndt, B.C,Chan, H.H.,Zhang, L.-C., Journal für die reine und angewandte Mathematik 480, 1996
- A Motivated Proof of the Rogers-Ramanujan Identities
- George E. Andrews and R. J. Baxter, The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 5 (May, 1989), pp. 401-409
- Watson, G. N.
- http://ko.wikipedia.org/wiki/연분수
- http://en.wikipedia.org/wiki/Rogers-Ramanujan_identities
- http://en.wikipedia.org/wiki/Rogers%E2%80%93Ramanujan_continued_fraction
- http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss's_continued_fraction
관련기사
네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=연분수
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=라마누잔
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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