"로저스-라마누잔 항등식"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
7번째 줄: 7번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>간단한 소개</h5>
+
<h5>개요</h5>
  
 
* 라마누잔이 하디에게 보낸 편지에는 다음과 같은 공식이 포함되어 있음
 
* 라마누잔이 하디에게 보낸 편지에는 다음과 같은 공식이 포함되어 있음
14번째 줄: 14번째 줄:
  
 
* <math>\varphi</math> 는 [[황금비]]
 
* <math>\varphi</math> 는 [[황금비]]
 +
*  
  
 
 
 
 

2009년 12월 15일 (화) 10:51 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 라마누잔이 하디에게 보낸 편지에는 다음과 같은 공식이 포함되어 있음

\(\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots\)

 

 

로저스-라마누잔 항등식

\(G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots\)

 

 \(H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots\)

\((a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})\)

 

 

 

 

로저스-라마누잔 연분수

\(R(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)\cdots(1-q^n)}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}\)

\(H(q)=R(q), G(q)=R(1)\)

 

(정리)

\(R(z)=R(zq)+zqR(zq^2)\)

 

증명

\(R(zq)=\sum_{n\geq 0}\frac{(zq)^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2+n}}{(1-q)_q^n}\)

\(R(zq^2)=\sum_{n\geq 0}\frac{(zq^2)^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2+2n}}{(1-q)_q^n}\)

\(zqR(zq^2)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^{n+1}q^{(n+1)^2}}{(1-q)_q^n}=\sum_{n\geq 1}\frac{z^{n}q^{n^2}}{(1-q)_q^{n-1}}\)

\(R(zq)+zqR(zq^2)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2+n}}{(1-q)_q^n}+\sum_{n\geq 1}\frac{z^{n}q^{n^2+n}}{(1-q)_q^{n-1}}\)

\(R(zq)+zqR(zq^2)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2+n}}{(1-q)_q^n}+\sum_{n\geq 1}\frac{z^{n}q^{n^2}}{(1-q)_q^{n-1}} \\ =1+ \sum_{n\geq 1}\frac{z^nq^{n^2+n}+z^nq^{n^2}(1-q^n)}{(1-q)_q^n} \\ =1+\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n} = R(z)\) (증명끝)

 

이 정리로부터 \(R(q^n)=R(q^{n+1})+q^{n+1}R(q^{n+2})\)

즉 \(\frac{R(q^{n+1})}{R(q^n)}=\cfrac{1}{1+q^{n+1}\cfrac{R(q^{n+2})}{R(q^{n+1})}}\)를 얻는다.

 

\(\frac{H(q)}{G(q)}=\cfrac{R(q)}{R(1)} = \cfrac{1}{1+q\cfrac{R(q^2)}{R(q)}}=\cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+q^2\cfrac{R(q^3)}{R(q^2)}}}=\cdots\)

이를 반복하면, 다음을 얻는다.

\(\frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}\)

 

 

 

모듈라 성질
  • 로저스-라마누잔 함수는 약간의 수정을 통해 modularity를 가짐
    \(q^{-1/60}G(q) = q^{-1/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {q^{-1/60}}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}\)
    \(q^{11/60}H(q) =q^{11/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = q^{11/60}\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} \)
  • 데데킨트 에타함수가 갖는 modularity와의 유사성
    \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)

 

 

모듈라 

\(r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}\)

 

여기서 \(q=e^{2\pi i\tau}\).

\(\tau=i\) 인 경우에 값을 계산할 수 있다면, 위의 값을 얻을 수 있다.

\(r(i)=\cfrac{e^{\frac{-2\pi}{5}}}{1+\cfrac{e^{-2\pi}}{1+\cfrac{e^{-4\pi}}{1+\cfrac{e^{-6\pi}}{1+\cdots}}}}\)

 

j-invariant 와의 관계

\((r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^3+j(\tau)r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^5=0\)

여기서, \(j(\tau)\) 는 j-invariant

\( j(\sqrt{-1})=1728\)를 이용하고 방정식의 해를 계산.

 

 

 

데데킨트 \(\eta\) 함수와의 관계

\(\frac{1}{r(5\tau)}-r(5\tau)-1=\frac{\eta(\tau)}{\eta(25\tau)}\)

\(\frac{1}{r(-\frac{1}{5\tau})}-r(-\frac{1}{5\tau})-1=\frac{\eta(-\frac{1}{25\tau})}{\eta(-\frac{1}{\tau})}\)

 

 

  • 에타함수의 modularity

\(\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)\)

\(\eta(-\frac{1}{25\tau}) =\sqrt{\frac{25\tau}{i}}\eta(25\tau)\)

\(\frac{\eta(\tau)}{\eta(25\tau)}\frac{\eta(-\frac{1}{25\tau})}{\eta(-\frac{1}{\tau})}=5\)

  • 양변을 곱하여 다음 식을 얻는다.

\((\frac{1}{r(5\tau)}-r(5\tau)-1)(\frac{1}{r(-\frac{1}{5\tau})}-r(-\frac{1}{5\tau})-1)=5\)

 

\(\tau=\frac{i}{5}\) 인 경우, \((\frac{1}{r(i)}-r(i)-1)^2=5\) 를 얻고, 방정식을 풀 수 있음.

 

 

special values

\(r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\)

 

하위주제들

 

 

 

하위페이지

 

 

재미있는 사실

 

관련된 단원

 

 

많이 나오는 질문

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

 

 

관련된 다른 주제들

 

 

 

관련도서 및 추천도서

 

참고할만한 자료

 

관련기사

네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)

 

 

블로그


원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=로저스-라마누잔_항등식&oldid=8709"