"맴돌이군과 미분방정식"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
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* 미분방정식에 의해 결정되는 맴돌이의 예
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* 정칙특이점이 있는 [[이계 선형 미분방정식]]의 해를 해석적으로 확장하는 문제
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* [[맴돌이군이 유한인 초기하 미분방정식에 대한 슈바르츠 목록]]
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
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==로그함수와 맴돌이==
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===오일러 미분방정식===
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로그함수를 이해하는 또다른 관점에 대하여 생각해 보려 한다.
  
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복소함수 <math>y(z)</math>에 대한 [[오일러 미분방정식]] 을 생각해보자.
  
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* [[로그 함수|로그함수]]<br>
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:<math>z^2\frac{d^2y}{dz^2}+\alpha z\frac{dy}{dz}+\beta y=0</math>
  
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이 미분방정식은 원점 즉, <math>z=0</math>에서 정칙특이점을 가진다.
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">복소로그함수</h5>
 
  
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복소로그함수는 복소수 <math>z = re^{i\theta}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의된다
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로그함수에 대하여 생각하고 있으므로, 특별히 <math>\alpha=1</math>, <math>\beta=0</math> 인 간단한 경우를 생각해 보자.
  
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<math>\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)</math>. 여기서 <math>k\in\mathbb{Z}</math>.
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:<math>z\frac{d^2y}{dz^2}+ \frac{dy}{dz}=0</math>
  
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하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)이다.
 
  
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예를 들자면, <math>z=1=re^{i\cdot 0}</math>에 대해서는
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===미분방정식의 해===
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[[이계 선형 미분방정식]] 이므로 <math>z=1</math> 근방의 공간에서 두 개의 일차독립인 해가 존재한다.
  
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<math>\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots</math>
 
  
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<math>\log(1)</math>의 값이 무한대로 많은 것이다.
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두 함수 <math>y_1=1</math>과 <math>y_2=\log z</math> (국소적으로 생각하고 있으므로, <math>y_2(1)=0</math> 인 로그함수의 가지(branch)를 선택) 가 미분방정식의  <math>z=1</math> 근방에서의 해공간의 기저가 된다.
  
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<math>y_1'=0</math>이므로 미분방정식의 해이다. 또, <math>y_2'=1/z</math>, <math>y_2''=-1/z^2</math>이므로 역시 미분방정식의 해이다.
  
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그런데 중고등학교에서 '함수'의 개념을 가르칠때, 가장 강조되는 것은 함수는 각 정의역의 원소에 대하여, 공역의 원소가 하나씩 대응되어야 한다는 것이다. 그러니 이대로는 복소로그함수는 함수가 아니다!
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즉 이 미분방정식의 <math>z=1</math> 근방의 모든 해는 적당한 복소수 <math>c_1,c_2</math>에 대하여 <math>y(z)=c_1+c_2\log z=c_1y_1+c_2y_2</math>의 형태로 쓸 수 있다.
  
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학부의 복소함수론에서는 이러한 상황을 타개하기 위하여 복소평면에서 원점에서 시작되는 반직선을 뺀 영역에서 복소로그함수를 정의하며 그 '''공역, 즉 함수값이 가질 수 있는 영역을 제한'''하는 것이 보통이다.
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===해석적확장과 맴돌이===
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이제 이렇게 얻어진 미분방정식의 해를 가지고, 해석적확장을 할 때 생기는 현상에 대하여 생각해보자.
  
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그러나 이러한 방식으로는 이 함수를 어떻게 이해하는 것이 정말로 올바른 것인지 제대로 답할 수 없다.
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1은 해석함수(analytic function)이므로, 어떤 경로를 따라서 움직이든 해석적확장(analytic continuation) 에 의해 변하지 않는다. 즉 원점 주위를 한바퀴 반시계방향으로 회전하며 해석적확장을 해도  <math>1 =1 \cdot y_1+0 \cdot y_2</math> 으로 남아 있다.
  
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한편, 미분방정식의 특이점인 <math>z=0</math> 즉, 원점 주위를 <math>z=1</math>에서 시작하여 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 <math>y_1=\log z</math>를 해석적으로 확장하여 같은 자리로 돌아오는 경우, [[복소로그함수]]에서 보았듯이 <math>2\pi i</math>만큼 다른 값을 가지는 새로운 함수 <math>\log z+2\pi i=2\pi i\cdot y_1+1 \cdot y_2</math> 를 얻게 된다.
  
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문제의 원인을 잘 들여다보면, 이것은 [[원 위에서 각도함수 정의하기|원위의 점에 정의되는 각도함수]]를 정의하는 것이 불가능한 이유와 같음을 알 수 있다. 각도함수라는 것을 정의할 수 있는 곳은 원이 아니라, 원 위에 놓여 나선처럼 놓인 직선이었다.
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[http://lh5.ggpht.com/_knry6PkLCS4/SbmZwU-6zkI/AAAAAAAAXrU/IzZXmtQmVSo/s800/%EC%A0%84%EC%B2%B4%ED%99%94%EB%A9%B4%20%EC%BA%A1%EC%B2%98%202009-03-12%20%EC%98%A4%ED%9B%84%2042318.jpg ]
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따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 닫힌 경로는, 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 해공간을 변화시키는 선형사상으로 이해할 경우, 미분방정식의 해공간의 기저 <math>y_1,y_2</math>에 대하여 행렬
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:<math>\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
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에 대응된다.
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이 상황을 정리하기 위해서는 이와 같은 발상의 전환이 필요하다. 그것은 ''''공역'을 제한하는 것이 아니라 바로 '정의역'을 바꾸는 것'''이다. 로그함수는 원점을 제외한 복소평면에서 정의되는 함수가 아니다.
 
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복소로그함수 <math>\log(z)</math>는 복소평면에 있는 복소수 z에 대하여 정의된 함수가 아니라, 다음과 같이 생긴 곡면에 정의된 함수로 보아야 한다.
 
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단순히 복소수 z라고 하는 것은 이 곡면의 한 점을 정의하기에 충분하지 않다.
 
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위의 원과 그 위에 놓인 나선(결국은 직선) 의 관계처럼, 원점을 뺀 복소평면을 나선처럼 감고 올라가는 곡면을 복소로그함수의 올바른 정의역으로 보아야 한다.
 
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복소수 1이라는 것이 이 곡면의 한 점이 아니라, 1에서 시작해서 원점 주변을 한바퀴 돌고 돌아온 또다른 1, 두바퀴 돌때 생기는 1, ... 이렇게 1
 
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이 곡면을 복소로그함수 <math>\log(z)</math>의 [http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_surface 리만곡면]이라고 부른다.
 
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[[Media:|]]
 
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[[오일러 미분방정식]]
 
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<math>x^2\frac{d^2y}{dx^2}+\alpha x\frac{dy}{dx}+\beta y=0</math>
 
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<math>\alpha=1</math>, <math>\beta=0</math> 인 경우,
 
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<math>x^2\frac{d^2y}{dx^2}+ x\frac{dy}{dx}=0</math>
 
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<math>\{1,\log x\}</math>는 기저가 된다
 
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해는 <math>y=c_1+c_2\log x</math>
 
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1은 해석함수이므로, 해석적확장에 의해 변하지 않는다.  <math>1 =1 \cdot 1+0 \cdot \log x</math>
 
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원점 주위를 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 <math>\log x</math>를 해석적으로 확장하여 제자리로 돌아오는 경우 <math>\log x+2\pi i=2\pi i\cdot 1+1 \cdot \log x</math> 를 얻는다.
 
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따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 닫힌 경로는 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 행렬 
 
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<math>\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
 
  
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에 대응된다.
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일반적으로 이렇게 특이점이 있는 미분방정식의 해를 특이점 주변에서 해석적확장을 하며 얻어지는 준동형사상 <math>\pi_1(\mathbb{C}-\{0\}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})</math> 를 미분방정식에 대한 <math>\pi_1</math>의 맴돌이 표현(monodromy representation)이라 하며, 이 때의 치역(image)을 맴돌이군(monodromy group)이라 한다.
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한바퀴 도는 경우가 행렬
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:<math>\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>에 대응되므로, 두바퀴 도는 경우는
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:<math>\begin{pmatrix} 1 & 4\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix},</math> 세바퀴 도는 경우는
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:<math>\begin{pmatrix} 1 & 6\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix},</math> 거꾸로 한바퀴 도는 경우는
 +
:<math>\begin{pmatrix} 1 & -2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> ... 에 대응된다.
  
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미분방정식 <math>x^2\frac{d^2y}{dx^2}+ x\frac{dy}{dx}=0</math>의 맴돌이군은 따라서 <math>\mathbb{Z}</math>와 같다.
+
 +
일반적으로 이렇게 특이점이 있는 미분방정식의 해를 특이점 주변에서 해석적확장을 하며 얻어지는 원점 주변에 놓인 닫힌 루프에 대응되는 행렬들, 즉 준동형사상(homomorphism)
 +
:<math>\pi_1(\mathbb{C}\backslash \{0\}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})</math> 를 미분방정식에 대한 맴돌이 표현(monodromy representation)이라 하며, 이 때의 치역(image)을 맴돌이군(monodromy group)이라 한다. 이러한 개념들을 이해해야, ‘Proof of the Existence of Linear Differential Equations Having a Prescribed Monodromic Group’ ([http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_twenty-first_problem http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert’s_twenty-first_problem])에 접근할 수 있다.
  
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즉 오일러 미분방정식의 특별한 경우인
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:<math>z\frac{d^2y}{dz^2}+ \frac{dy}{dz}=0</math> 의 맴돌이군은 따라서 정수들이 이루는 군 <math>\mathbb{Z}</math>가 된다.
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복소로그함수를 이해하려면 앞에서처럼 리만곡면에서 정의되는 함수로 이해하든지, 아니면 이렇게 미분방정식과 그 맴돌이군을 통해 이해하던지 그때그때 필요한대로 선택하면 된다.
  
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[[대수적위상수학]]
 
  
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===벡터다발 (vector bundle)과 접속, local system===
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* <math>\mathbb{C}^\times</math>와 trivial rank 2 bundle <math>\cal{O}_{\mathbb{C}^\times}^2</math>
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* [[접속 (connection)]]
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:<math>
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\nabla \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} =
 +
  d\begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix}  -
 +
  \begin{pmatrix}0 & 0 \cr 1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} \frac{dz}{z}
 +
  = \begin{pmatrix} df_1 \cr df_2 - f_1 \frac{dz}{z} \end{pmatrix}
 +
</math>
 +
* <math>f=\begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix}</math>가 horizontal section이 될 조건은 <math>\nabla f = 0</math>로 주어지며, 이는 다음의 미분방정식과 동치이다
 +
:<math>
 +
f_2''+\frac{f_2'}{z}=0
 +
</math>
 +
* 단순연결된 공간 <math>U\subseteq \mathbb{C}^\times</math>에서, 해를 다음과 같이 표현할 수 있다
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:<math>
 +
\begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \cr A \log z + B \end{pmatrix}
 +
</math>
 +
* 이 해공간으로부터 <math>\mathbb{C}^\times</math>에 정의된 local system 을 얻는다
 +
* http://mathoverflow.net/questions/47351/how-to-think-of-monodromy-transformations
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
+
==타원적분과 맴돌이==
 +
===미분방정식===
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]] 에서 가져옴
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* [[오일러-가우스 초기하함수2F1|오일러-가우스 초기하함수]]를 이용한 표현:<math>K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)</math>
 +
* <math>z=k^2</math>로 두고, <math>w(z)=\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)</math> 라 하자:<math>K(k)=w(z)=w(k^2)</math>:<math>K(k')=w(1-z)=w(1-k^2)</math>
 +
* <math>w(z)</math>는 다음 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]을 만족시킨다:<math>z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(1-2z)\frac{dw}{dz}-\frac{1}{4}w = 0</math>
  
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
+
===선형독립인 해===
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
+
<math>w_1(z)=w(z)</math>와 <math>w_2=w(1-z)</math>는 이 미분방정식의 선형독립인 두 해이다
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미분방정식의 특이점을 분석하면, <math>w_1(z)</math>와 :<math>w_2(z)+\frac{1}{\pi}w_1(z)\log z</math> 는 <math>z=0</math>에서 해석함수이고,<math>w_1(1-z)=w_2(z)</math>와
 +
:<math>w_2(1-z)+\frac{1}{\pi}w_1(1-z)\log (1-z)=w_1(z)+\frac{1}{\pi}w_2(z)\log (1-z)</math> 는 <math>z=1</math>에서 해석함수임을 알수있다
  
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===미분방정식의 모노드로미===
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미분방정식의 해의 기저 <math>\{w_1,iw_2\}</math>에 대하여 다음과 같은 모노드로미 표현을 얻을 수 있다
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* <math>z=0</math> 주변의 루프는
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:<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
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* <math>z=1</math> 주변의 루프는
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:<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.</math> 따라서 미분방정식의 모노드로미군은 <math>\Gamma(2)</math>가 된다
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
+
==역사==
  
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+
* [[수학사 연표]]
−
*  
 
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모</h5>
+
==메모==
 +
* http://mathoverflow.net/questions/17786/why-are-local-systems-and-representations-of-the-fundamental-group-equivalent
 +
* http://arxiv.org/abs/1507.00711
  
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==관련된 항목들==
  
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* [[로그 함수]]
 +
* [[복소로그함수]]
 +
* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]
 +
* [[대수적위상수학]]
 +
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5>
+
  
−
* [[로그 함수|로그함수]]<br>
+
==수학용어번역==
−
* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br>
+
* {{학술용어집|url=monodromy}}
 +
* {{학술용어집|url=bundle}}
  
−
 
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==사전 형태의 자료==
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
 
−
 
 
−
* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
−
* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
 
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
−
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5>
 
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−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
−
* http://www.ams.org/mathscinet
 
−
* http://dx.doi.org/
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서</h5>
 
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−
*  도서내검색<br>
 
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5>
 
  
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
  
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[[분류:미분방정식]]
  
−
 
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== 관련논문 ==
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">블로그</h5>
+
* Jonathan D. Hauenstein, Jose Israel Rodriguez, Frank Sottile, Numerical computation of Galois groups, arXiv:1605.07806 [math.AG], May 25 2016, http://arxiv.org/abs/1605.07806
  
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*  구글 블로그 검색<br>
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==메타데이터==
−
** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
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===위키데이터===
−
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q4155615 Q4155615]
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* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
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* [{'LOWER': 'hilbert'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'twenty'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'first'}, {'LEMMA': 'problem'}]
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2021년 2월 17일 (수) 04:42 기준 최신판

개요



로그함수와 맴돌이

오일러 미분방정식

로그함수를 이해하는 또다른 관점에 대하여 생각해 보려 한다.

복소함수 \(y(z)\)에 대한 오일러 미분방정식 을 생각해보자.

\[z^2\frac{d^2y}{dz^2}+\alpha z\frac{dy}{dz}+\beta y=0\]

이 미분방정식은 원점 즉, \(z=0\)에서 정칙특이점을 가진다.


로그함수에 대하여 생각하고 있으므로, 특별히 \(\alpha=1\), \(\beta=0\) 인 간단한 경우를 생각해 보자.

\[z\frac{d^2y}{dz^2}+ \frac{dy}{dz}=0\]


미분방정식의 해

이계 선형 미분방정식 이므로 \(z=1\) 근방의 공간에서 두 개의 일차독립인 해가 존재한다.


두 함수 \(y_1=1\)과 \(y_2=\log z\) (국소적으로 생각하고 있으므로, \(y_2(1)=0\) 인 로그함수의 가지(branch)를 선택) 가 미분방정식의 \(z=1\) 근방에서의 해공간의 기저가 된다.

\(y_1'=0\)이므로 미분방정식의 해이다. 또, \(y_2'=1/z\), \(y_2''=-1/z^2\)이므로 역시 미분방정식의 해이다.

즉 이 미분방정식의 \(z=1\) 근방의 모든 해는 적당한 복소수 \(c_1,c_2\)에 대하여 \(y(z)=c_1+c_2\log z=c_1y_1+c_2y_2\)의 형태로 쓸 수 있다.


해석적확장과 맴돌이

이제 이렇게 얻어진 미분방정식의 해를 가지고, 해석적확장을 할 때 생기는 현상에 대하여 생각해보자.

1은 해석함수(analytic function)이므로, 어떤 경로를 따라서 움직이든 해석적확장(analytic continuation) 에 의해 변하지 않는다. 즉 원점 주위를 한바퀴 반시계방향으로 회전하며 해석적확장을 해도 \(1 =1 \cdot y_1+0 \cdot y_2\) 으로 남아 있다.

한편, 미분방정식의 특이점인 \(z=0\) 즉, 원점 주위를 \(z=1\)에서 시작하여 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 \(y_1=\log z\)를 해석적으로 확장하여 같은 자리로 돌아오는 경우, 복소로그함수에서 보았듯이 \(2\pi i\)만큼 다른 값을 가지는 새로운 함수 \(\log z+2\pi i=2\pi i\cdot y_1+1 \cdot y_2\) 를 얻게 된다.


따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 닫힌 경로는, 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 해공간을 변화시키는 선형사상으로 이해할 경우, 미분방정식의 해공간의 기저 \(y_1,y_2\)에 대하여 행렬 \[\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\] 에 대응된다.


한바퀴 도는 경우가 행렬 \[\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]에 대응되므로, 두바퀴 도는 경우는 \[\begin{pmatrix} 1 & 4\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\] 세바퀴 도는 경우는 \[\begin{pmatrix} 1 & 6\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\] 거꾸로 한바퀴 도는 경우는 \[\begin{pmatrix} 1 & -2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\] ... 에 대응된다.


일반적으로 이렇게 특이점이 있는 미분방정식의 해를 특이점 주변에서 해석적확장을 하며 얻어지는 원점 주변에 놓인 닫힌 루프에 대응되는 행렬들, 즉 준동형사상(homomorphism) \[\pi_1(\mathbb{C}\backslash \{0\}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})\] 를 미분방정식에 대한 맴돌이 표현(monodromy representation)이라 하며, 이 때의 치역(image)을 맴돌이군(monodromy group)이라 한다. 이러한 개념들을 이해해야, ‘Proof of the Existence of Linear Differential Equations Having a Prescribed Monodromic Group’ (http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert’s_twenty-first_problem)에 접근할 수 있다.

즉 오일러 미분방정식의 특별한 경우인 \[z\frac{d^2y}{dz^2}+ \frac{dy}{dz}=0\] 의 맴돌이군은 따라서 정수들이 이루는 군 \(\mathbb{Z}\)가 된다.


복소로그함수를 이해하려면 앞에서처럼 리만곡면에서 정의되는 함수로 이해하든지, 아니면 이렇게 미분방정식과 그 맴돌이군을 통해 이해하던지 그때그때 필요한대로 선택하면 된다.


벡터다발 (vector bundle)과 접속, local system

  • \(\mathbb{C}^\times\)와 trivial rank 2 bundle \(\cal{O}_{\mathbb{C}^\times}^2\)
  • 접속 (connection)

\[ \nabla \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} = d\begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & 0 \cr 1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} \frac{dz}{z} = \begin{pmatrix} df_1 \cr df_2 - f_1 \frac{dz}{z} \end{pmatrix} \]

  • \(f=\begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix}\)가 horizontal section이 될 조건은 \(\nabla f = 0\)로 주어지며, 이는 다음의 미분방정식과 동치이다

\[ f_2''+\frac{f_2'}{z}=0 \]

  • 단순연결된 공간 \(U\subseteq \mathbb{C}^\times\)에서, 해를 다음과 같이 표현할 수 있다

\[ \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \cr A \log z + B \end{pmatrix} \]

타원적분과 맴돌이

미분방정식


선형독립인 해

\(w_1(z)=w(z)\)와 \(w_2=w(1-z)\)는 이 미분방정식의 선형독립인 두 해이다 미분방정식의 특이점을 분석하면, \(w_1(z)\)와 \[w_2(z)+\frac{1}{\pi}w_1(z)\log z\] 는 \(z=0\)에서 해석함수이고,\(w_1(1-z)=w_2(z)\)와 \[w_2(1-z)+\frac{1}{\pi}w_1(1-z)\log (1-z)=w_1(z)+\frac{1}{\pi}w_2(z)\log (1-z)\] 는 \(z=1\)에서 해석함수임을 알수있다


미분방정식의 모노드로미

미분방정식의 해의 기저 \(\{w_1,iw_2\}\)에 대하여 다음과 같은 모노드로미 표현을 얻을 수 있다

  • \(z=0\) 주변의 루프는

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

  • \(z=1\) 주변의 루프는

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.\] 따라서 미분방정식의 모노드로미군은 \(\Gamma(2)\)가 된다

역사



메모

관련된 항목들



수학용어번역

  • monodromy - 대한수학회 수학용어집
  • bundle - 대한수학회 수학용어집


사전 형태의 자료

관련논문

  • Jonathan D. Hauenstein, Jose Israel Rodriguez, Frank Sottile, Numerical computation of Galois groups, arXiv:1605.07806 [math.AG], May 25 2016, http://arxiv.org/abs/1605.07806

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'hilbert'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'twenty'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'first'}, {'LEMMA': 'problem'}]
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