"맴돌이군과 미분방정식"의 두 판 사이의 차이
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| + | * 정칙특이점이 있는 [[이계 선형 미분방정식]]의 해를 해석적으로 확장하는 문제 | ||
| + | * [[맴돌이군이 유한인 초기하 미분방정식에 대한 슈바르츠 목록]] | ||
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로그함수를 이해하는 또다른 관점에 대하여 생각해 보려 한다. | 로그함수를 이해하는 또다른 관점에 대하여 생각해 보려 한다. | ||
| − | + | 복소함수 <math>y(z)</math>에 대한 [[오일러 미분방정식]] 을 생각해보자. | |
| − | + | :<math>z^2\frac{d^2y}{dz^2}+\alpha z\frac{dy}{dz}+\beta y=0</math> | |
| − | <math>z | + | 이 미분방정식은 원점 즉, <math>z=0</math>에서 정칙특이점을 가진다. |
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| − | + | 로그함수에 대하여 생각하고 있으므로, 특별히 <math>\alpha=1</math>, <math>\beta=0</math> 인 간단한 경우를 생각해 보자. | |
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| − | + | ===미분방정식의 해=== | |
| + | [[이계 선형 미분방정식]] 이므로 <math>z=1</math> 근방의 공간에서 두 개의 일차독립인 해가 존재한다. | ||
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| − | 두 함수 <math>y_1=1</math> | + | 두 함수 <math>y_1=1</math>과 <math>y_2=\log z</math> (국소적으로 생각하고 있으므로, <math>y_2(1)=0</math> 인 로그함수의 가지(branch)를 선택) 가 미분방정식의 <math>z=1</math> 근방에서의 해공간의 기저가 된다. |
<math>y_1'=0</math>이므로 미분방정식의 해이다. 또, <math>y_2'=1/z</math>, <math>y_2''=-1/z^2</math>이므로 역시 미분방정식의 해이다. | <math>y_1'=0</math>이므로 미분방정식의 해이다. 또, <math>y_2'=1/z</math>, <math>y_2''=-1/z^2</math>이므로 역시 미분방정식의 해이다. | ||
| − | 즉 이 미분방정식의 <math>z=1</math> 근방의 모든 해는 적당한 | + | 즉 이 미분방정식의 <math>z=1</math> 근방의 모든 해는 적당한 복소수 <math>c_1,c_2</math>에 대하여 <math>y(z)=c_1+c_2\log z=c_1y_1+c_2y_2</math>의 형태로 쓸 수 있다. |
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| + | ===해석적확장과 맴돌이=== | ||
이제 이렇게 얻어진 미분방정식의 해를 가지고, 해석적확장을 할 때 생기는 현상에 대하여 생각해보자. | 이제 이렇게 얻어진 미분방정식의 해를 가지고, 해석적확장을 할 때 생기는 현상에 대하여 생각해보자. | ||
| − | + | 1은 해석함수(analytic function)이므로, 어떤 경로를 따라서 움직이든 해석적확장(analytic continuation) 에 의해 변하지 않는다. 즉 원점 주위를 한바퀴 반시계방향으로 회전하며 해석적확장을 해도 <math>1 =1 \cdot y_1+0 \cdot y_2</math> 으로 남아 있다. | |
| − | 한편, 미분방정식의 특이점인 <math>z=0</math> 즉, 원점 주위를 <math>z=1</math>에서 시작하여 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 <math>y_1=\log z</math> | + | 한편, 미분방정식의 특이점인 <math>z=0</math> 즉, 원점 주위를 <math>z=1</math>에서 시작하여 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 <math>y_1=\log z</math>를 해석적으로 확장하여 같은 자리로 돌아오는 경우, [[복소로그함수]]에서 보았듯이 <math>2\pi i</math>만큼 다른 값을 가지는 새로운 함수 <math>\log z+2\pi i=2\pi i\cdot y_1+1 \cdot y_2</math> 를 얻게 된다. |
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| + | 따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 닫힌 경로는, 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 해공간을 변화시키는 선형사상으로 이해할 경우, 미분방정식의 해공간의 기저 <math>y_1,y_2</math>에 대하여 행렬 | ||
| + | :<math>\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> | ||
에 대응된다. | 에 대응된다. | ||
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| − | 일반적으로 이렇게 특이점이 있는 미분방정식의 해를 특이점 주변에서 해석적확장을 | + | |
| + | 일반적으로 이렇게 특이점이 있는 미분방정식의 해를 특이점 주변에서 해석적확장을 하며 얻어지는 원점 주변에 놓인 닫힌 루프에 대응되는 행렬들, 즉 준동형사상(homomorphism) | ||
| + | :<math>\pi_1(\mathbb{C}\backslash \{0\}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})</math> 를 미분방정식에 대한 맴돌이 표현(monodromy representation)이라 하며, 이 때의 치역(image)을 맴돌이군(monodromy group)이라 한다. 이러한 개념들을 이해해야, ‘Proof of the Existence of Linear Differential Equations Having a Prescribed Monodromic Group’ ([http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_twenty-first_problem http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert’s_twenty-first_problem])에 접근할 수 있다. | ||
| − | + | 즉 오일러 미분방정식의 특별한 경우인 | |
| − | + | :<math>z\frac{d^2y}{dz^2}+ \frac{dy}{dz}=0</math> 의 맴돌이군은 따라서 정수들이 이루는 군 <math>\mathbb{Z}</math>가 된다. | |
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복소로그함수를 이해하려면 앞에서처럼 리만곡면에서 정의되는 함수로 이해하든지, 아니면 이렇게 미분방정식과 그 맴돌이군을 통해 이해하던지 그때그때 필요한대로 선택하면 된다. | 복소로그함수를 이해하려면 앞에서처럼 리만곡면에서 정의되는 함수로 이해하든지, 아니면 이렇게 미분방정식과 그 맴돌이군을 통해 이해하던지 그때그때 필요한대로 선택하면 된다. | ||
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| + | * <math>\mathbb{C}^\times</math>와 trivial rank 2 bundle <math>\cal{O}_{\mathbb{C}^\times}^2</math> | ||
| + | * [[접속 (connection)]] | ||
| + | :<math> | ||
| + | \nabla \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} = | ||
| + | d\begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} - | ||
| + | \begin{pmatrix}0 & 0 \cr 1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} \frac{dz}{z} | ||
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| + | </math> | ||
| + | * <math>f=\begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix}</math>가 horizontal section이 될 조건은 <math>\nabla f = 0</math>로 주어지며, 이는 다음의 미분방정식과 동치이다 | ||
| + | :<math> | ||
| + | f_2''+\frac{f_2'}{z}=0 | ||
| + | </math> | ||
| + | * 단순연결된 공간 <math>U\subseteq \mathbb{C}^\times</math>에서, 해를 다음과 같이 표현할 수 있다 | ||
| + | :<math> | ||
| + | \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \cr A \log z + B \end{pmatrix} | ||
| + | </math> | ||
| + | * 이 해공간으로부터 <math>\mathbb{C}^\times</math>에 정의된 local system 을 얻는다 | ||
| + | * http://mathoverflow.net/questions/47351/how-to-think-of-monodromy-transformations | ||
| − | + | ==타원적분과 맴돌이== | |
| + | ===미분방정식=== | ||
| + | * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]] 에서 가져옴 | ||
| + | * [[오일러-가우스 초기하함수2F1|오일러-가우스 초기하함수]]를 이용한 표현:<math>K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)</math> | ||
| + | * <math>z=k^2</math>로 두고, <math>w(z)=\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)</math> 라 하자:<math>K(k)=w(z)=w(k^2)</math>:<math>K(k')=w(1-z)=w(1-k^2)</math> | ||
| + | * <math>w(z)</math>는 다음 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]을 만족시킨다:<math>z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(1-2z)\frac{dw}{dz}-\frac{1}{4}w = 0</math> | ||
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| − | + | ===선형독립인 해=== | |
| + | <math>w_1(z)=w(z)</math>와 <math>w_2=w(1-z)</math>는 이 미분방정식의 선형독립인 두 해이다 | ||
| + | 미분방정식의 특이점을 분석하면, <math>w_1(z)</math>와 :<math>w_2(z)+\frac{1}{\pi}w_1(z)\log z</math> 는 <math>z=0</math>에서 해석함수이고,<math>w_1(1-z)=w_2(z)</math>와 | ||
| + | :<math>w_2(1-z)+\frac{1}{\pi}w_1(1-z)\log (1-z)=w_1(z)+\frac{1}{\pi}w_2(z)\log (1-z)</math> 는 <math>z=1</math>에서 해석함수임을 알수있다 | ||
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| − | + | ===미분방정식의 모노드로미=== | |
| + | 미분방정식의 해의 기저 <math>\{w_1,iw_2\}</math>에 대하여 다음과 같은 모노드로미 표현을 얻을 수 있다 | ||
| + | * <math>z=0</math> 주변의 루프는 | ||
| + | :<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> | ||
| + | * <math>z=1</math> 주변의 루프는 | ||
| + | :<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.</math> 따라서 미분방정식의 모노드로미군은 <math>\Gamma(2)</math>가 된다 | ||
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| − | * [[ | + | * [[수학사 연표]] |
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| + | * http://mathoverflow.net/questions/17786/why-are-local-systems-and-representations-of-the-fundamental-group-equivalent | ||
| + | * http://arxiv.org/abs/1507.00711 | ||
| − | + | ==관련된 항목들== | |
| − | + | * [[로그 함수]] | |
| + | * [[복소로그함수]] | ||
| + | * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]] | ||
| + | * [[대수적위상수학]] | ||
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| − | + | [[분류:미분방정식]] | |
| − | + | == 관련논문 == | |
| − | + | * Jonathan D. Hauenstein, Jose Israel Rodriguez, Frank Sottile, Numerical computation of Galois groups, arXiv:1605.07806 [math.AG], May 25 2016, http://arxiv.org/abs/1605.07806 | |
| − | + | ==메타데이터== | |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | * [ | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q4155615 Q4155615] |
| − | * [ | + | ===Spacy 패턴 목록=== |
| − | * | + | * [{'LOWER': 'hilbert'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'twenty'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'first'}, {'LEMMA': 'problem'}] |
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2021년 2월 17일 (수) 04:42 기준 최신판
개요
- 미분방정식에 의해 결정되는 맴돌이의 예
- 정칙특이점이 있는 이계 선형 미분방정식의 해를 해석적으로 확장하는 문제
- 맴돌이군이 유한인 초기하 미분방정식에 대한 슈바르츠 목록
로그함수와 맴돌이
오일러 미분방정식
로그함수를 이해하는 또다른 관점에 대하여 생각해 보려 한다.
복소함수 \(y(z)\)에 대한 오일러 미분방정식 을 생각해보자.
\[z^2\frac{d^2y}{dz^2}+\alpha z\frac{dy}{dz}+\beta y=0\]
이 미분방정식은 원점 즉, \(z=0\)에서 정칙특이점을 가진다.
로그함수에 대하여 생각하고 있으므로, 특별히 \(\alpha=1\), \(\beta=0\) 인 간단한 경우를 생각해 보자.
\[z\frac{d^2y}{dz^2}+ \frac{dy}{dz}=0\]
미분방정식의 해
이계 선형 미분방정식 이므로 \(z=1\) 근방의 공간에서 두 개의 일차독립인 해가 존재한다.
두 함수 \(y_1=1\)과 \(y_2=\log z\) (국소적으로 생각하고 있으므로, \(y_2(1)=0\) 인 로그함수의 가지(branch)를 선택) 가 미분방정식의 \(z=1\) 근방에서의 해공간의 기저가 된다.
\(y_1'=0\)이므로 미분방정식의 해이다. 또, \(y_2'=1/z\), \(y_2''=-1/z^2\)이므로 역시 미분방정식의 해이다.
즉 이 미분방정식의 \(z=1\) 근방의 모든 해는 적당한 복소수 \(c_1,c_2\)에 대하여 \(y(z)=c_1+c_2\log z=c_1y_1+c_2y_2\)의 형태로 쓸 수 있다.
해석적확장과 맴돌이
이제 이렇게 얻어진 미분방정식의 해를 가지고, 해석적확장을 할 때 생기는 현상에 대하여 생각해보자.
1은 해석함수(analytic function)이므로, 어떤 경로를 따라서 움직이든 해석적확장(analytic continuation) 에 의해 변하지 않는다. 즉 원점 주위를 한바퀴 반시계방향으로 회전하며 해석적확장을 해도 \(1 =1 \cdot y_1+0 \cdot y_2\) 으로 남아 있다.
한편, 미분방정식의 특이점인 \(z=0\) 즉, 원점 주위를 \(z=1\)에서 시작하여 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 \(y_1=\log z\)를 해석적으로 확장하여 같은 자리로 돌아오는 경우, 복소로그함수에서 보았듯이 \(2\pi i\)만큼 다른 값을 가지는 새로운 함수 \(\log z+2\pi i=2\pi i\cdot y_1+1 \cdot y_2\) 를 얻게 된다.
따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 닫힌 경로는, 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 해공간을 변화시키는 선형사상으로 이해할 경우, 미분방정식의 해공간의 기저 \(y_1,y_2\)에 대하여 행렬 \[\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\] 에 대응된다.
한바퀴 도는 경우가 행렬 \[\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]에 대응되므로, 두바퀴 도는 경우는 \[\begin{pmatrix} 1 & 4\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\] 세바퀴 도는 경우는 \[\begin{pmatrix} 1 & 6\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\] 거꾸로 한바퀴 도는 경우는 \[\begin{pmatrix} 1 & -2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\] ... 에 대응된다.
일반적으로 이렇게 특이점이 있는 미분방정식의 해를 특이점 주변에서 해석적확장을 하며 얻어지는 원점 주변에 놓인 닫힌 루프에 대응되는 행렬들, 즉 준동형사상(homomorphism)
\[\pi_1(\mathbb{C}\backslash \{0\}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})\] 를 미분방정식에 대한 맴돌이 표현(monodromy representation)이라 하며, 이 때의 치역(image)을 맴돌이군(monodromy group)이라 한다. 이러한 개념들을 이해해야, ‘Proof of the Existence of Linear Differential Equations Having a Prescribed Monodromic Group’ (http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert’s_twenty-first_problem)에 접근할 수 있다.
즉 오일러 미분방정식의 특별한 경우인 \[z\frac{d^2y}{dz^2}+ \frac{dy}{dz}=0\] 의 맴돌이군은 따라서 정수들이 이루는 군 \(\mathbb{Z}\)가 된다.
복소로그함수를 이해하려면 앞에서처럼 리만곡면에서 정의되는 함수로 이해하든지, 아니면 이렇게 미분방정식과 그 맴돌이군을 통해 이해하던지 그때그때 필요한대로 선택하면 된다.
벡터다발 (vector bundle)과 접속, local system
- \(\mathbb{C}^\times\)와 trivial rank 2 bundle \(\cal{O}_{\mathbb{C}^\times}^2\)
- 접속 (connection)
\[ \nabla \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} = d\begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & 0 \cr 1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} \frac{dz}{z} = \begin{pmatrix} df_1 \cr df_2 - f_1 \frac{dz}{z} \end{pmatrix} \]
- \(f=\begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix}\)가 horizontal section이 될 조건은 \(\nabla f = 0\)로 주어지며, 이는 다음의 미분방정식과 동치이다
\[ f_2''+\frac{f_2'}{z}=0 \]
- 단순연결된 공간 \(U\subseteq \mathbb{C}^\times\)에서, 해를 다음과 같이 표현할 수 있다
\[ \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \cr A \log z + B \end{pmatrix} \]
- 이 해공간으로부터 \(\mathbb{C}^\times\)에 정의된 local system 을 얻는다
- http://mathoverflow.net/questions/47351/how-to-think-of-monodromy-transformations
타원적분과 맴돌이
미분방정식
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) 에서 가져옴
- 오일러-가우스 초기하함수를 이용한 표현\[K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\]
- \(z=k^2\)로 두고, \(w(z)=\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)\) 라 하자\[K(k)=w(z)=w(k^2)\]\[K(k')=w(1-z)=w(1-k^2)\]
- \(w(z)\)는 다음 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)을 만족시킨다\[z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(1-2z)\frac{dw}{dz}-\frac{1}{4}w = 0\]
선형독립인 해
\(w_1(z)=w(z)\)와 \(w_2=w(1-z)\)는 이 미분방정식의 선형독립인 두 해이다 미분방정식의 특이점을 분석하면, \(w_1(z)\)와 \[w_2(z)+\frac{1}{\pi}w_1(z)\log z\] 는 \(z=0\)에서 해석함수이고,\(w_1(1-z)=w_2(z)\)와 \[w_2(1-z)+\frac{1}{\pi}w_1(1-z)\log (1-z)=w_1(z)+\frac{1}{\pi}w_2(z)\log (1-z)\] 는 \(z=1\)에서 해석함수임을 알수있다
미분방정식의 모노드로미
미분방정식의 해의 기저 \(\{w_1,iw_2\}\)에 대하여 다음과 같은 모노드로미 표현을 얻을 수 있다
- \(z=0\) 주변의 루프는
\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]
- \(z=1\) 주변의 루프는
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.\] 따라서 미분방정식의 모노드로미군은 \(\Gamma(2)\)가 된다
역사
메모
- http://mathoverflow.net/questions/17786/why-are-local-systems-and-representations-of-the-fundamental-group-equivalent
- http://arxiv.org/abs/1507.00711
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
관련논문
- Jonathan D. Hauenstein, Jose Israel Rodriguez, Frank Sottile, Numerical computation of Galois groups, arXiv:1605.07806 [math.AG], May 25 2016, http://arxiv.org/abs/1605.07806
메타데이터
위키데이터
- ID : Q4155615
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'hilbert'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'twenty'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'first'}, {'LEMMA': 'problem'}]