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** 유리수체 위에 정의된 타원의 유리수해는 유한생성아벨군의 구조를 가짐
 
** 유리수체 위에 정의된 타원의 유리수해는 유한생성아벨군의 구조를 가짐
 
** <math>E(\mathbb{Q})=\mathbb{Z}^r \oplus E(\mathbb{Q})_{\operatorname{Tor}}</math>
 
** <math>E(\mathbb{Q})=\mathbb{Z}^r \oplus E(\mathbb{Q})_{\operatorname{Tor}}</math>
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** 여기서 <math>\mathbb{T}</math>는 유한군
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** 여기서 <math>E(\mathbb{Q})_{\operatorname{Tor}}</math>는 <math>E(\mathbb{Q})</math>의 원소 중에서 order가 유한이 되는 원소들로 이루어진 유한군
  
 
 
 
 
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<h5>rank와 torsion</h5>
 
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* the only possible torsion groups for elliptic curves over Q are the cyclic groups of order 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12 [sic -- 11 is not possible] and<br><math>\frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{n\mathbb Z}</math> for n=1,2,3,4<br>
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* <math>E(\mathbb{Q})_{\operatorname{Tor}}</math>는 오직 다음 열다섯가지 경우만이 가능하다<br> 크기가 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12 (11은 불가)인 [[순환군]] 또는 <math>\frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{n\mathbb Z}</math> for n=1,2,3,4<br>
 
* 예) <math>E_n : y^2=x^3-n^2x</math>의 torsion은 <math>\{(\infty,\infty), (0,0),(n,0),(-n,0)\}</math>임
 
* 예) <math>E_n : y^2=x^3-n^2x</math>의 torsion은 <math>\{(\infty,\infty), (0,0),(n,0),(-n,0)\}</math>임
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">L-함수</h5>
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2010년 3월 26일 (금) 08:26 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

예

 

격자와 타원곡선

\(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3\)

\(g_2(\tau) = 60G_4=60\sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{4}}\)

\(g_3(\tau) = 140G_6=140\sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{6}}\)

 

 

군의 구조
  • chord-tangent method
  • 유리수해에 대한 Mordell theorem
    • 유리수체 위에 정의된 타원의 유리수해는 유한생성아벨군의 구조를 가짐
    • \(E(\mathbb{Q})=\mathbb{Z}^r \oplus E(\mathbb{Q})_{\operatorname{Tor}}\)
    • 여기서 \(E(\mathbb{Q})_{\operatorname{Tor}}\)는 \(E(\mathbb{Q})\)의 원소 중에서 order가 유한이 되는 원소들로 이루어진 유한군

 

 

덧셈공식
  • \(y^2=x^3+ax^2+bx+c\)위의 점 \(P=(x,y)\)에 대하여,
    \(2P\)의 \(x\)좌표는\(\frac{x^4-2bx^2-8cx-4ac+b^2}{4y^2}\) 로 주어진다

 

 

 

rank와 torsion
  • \(E(\mathbb{Q})_{\operatorname{Tor}}\)는 오직 다음 열다섯가지 경우만이 가능하다
    크기가 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12 (11은 불가)인 순환군 또는 \(\frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{n\mathbb Z}\) for n=1,2,3,4
  • 예) \(E_n : y^2=x^3-n^2x\)의 torsion은 \(\{(\infty,\infty), (0,0),(n,0),(-n,0)\}\)임

 

 

 

Hasse-Weil 정리
  • \(|\#E(\mathbb{F}_p)-p-1|\leq 2\sqrt{p}\)

 

 

 

 

타니야마-시무라 추측(정리)

 

 

Birch and Swinnerton-Dyer 추측

 

 

예

 

재미있는 사실

 

 

역사

 

 

 

 

 

관련된 다른 주제들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

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