감마함수

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 7월 16일 (금) 20:46 판
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개요
  • 팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장하기 위해 등장한 함수이다.
  • 라그랑주(Lagrange)가 이 함수를 나타내기 위해 처음으로 그리스 대문자 감마(Γ)를 사용하였으며, 그 이후로 정식 표기로 굳어짐.
  • 자연수에 대해 팩토리얼과 같은 값을 가지면서 s > 0 일때 logΓ(s) 가 convex 하게 하는 유일한 함수이다.
  • 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다
    \(\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\)
    \(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)
    \(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)\)
  • 대수다양체의 periods 를 표현하는데 등장하며, \(s\)가 유리수일때의 감마함수의 값이 초월수인지, 그리고 그 값들 사이의 대수적 관계에 대한 문제는 중요 미해결 문제

 

 

정의
  • 실수부가 \(\Re s>0\)인 복소수 \(s>0\)에 대하여 다음과 같이 정의
    \(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)
  • \(\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\)
  • 자연수 \(n\)에 대하여 \(\Gamma(n)=(n-1)!\)

 

 

해석적확장
  • 해석적확장(analytic continuation)
  • \(\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\)를 이용하여, 복소평면전체에서 정의된 meromorphic 함수로 이해가능
  • \(s=0,-1,-2\cdots\)에서 폴(pole)을 가진다

 

 

함수의 그래프
  • \(-4<s<4\)의 범위에서 다음과 같은 그래프를 가짐
    [/pages/3197800/attachments/3140461 gamma.jpg]
  • \(s>0\)일 때, \(\ln \Gamma(s)\)의 그래프
    [/pages/3197800/attachments/3140463 logofgamma.jpg]

 

 

 

무한곱표현

\(\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}\)

 

 

반사공식
  • \(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)
  • \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)
  • 일반적으로 
    \(\Gamma(n+\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\)
    (증명)

\(\Gamma(n+\frac{1}{2})=\Gamma(\frac{2n+1}{2})=(\frac{2n-1}{2})\Gamma(\frac{2n-1}{2})=(\frac{2n-1}{2})(\frac{2n-3}{2})\Gamma(\frac{2n-3}{2})=(\frac{2n-1}{2})\cdots(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{2n-1}{2}\sqrt{\pi}=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\)

 

 

곱셈공식
  • 이항
    \(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!\)
    \(2^{2z}\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{\pi}\;\Gamma(2z)\)
  • 일반화
    \(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)\)

 

 

적분표현
  • Binet's second expression
    \(\operatorname{Re} z > 0 \) 일 때, \(\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt\)
    http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고

 

 

Hurwitz 제타함수와의 관계

\(\Gamma(a)=-\sqrt{2\pi}}e^{\zeta'(0,a)}\)

\(\zeta'(0,a)=\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\)

후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function) 참조

 

쿰머의 푸리에 급수
  • 로그감마 함수의 푸리에 급수
    \(\begin{eqnarray}\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \\ =(\frac{1}{2}-x)(\gamma+\log 2)+(1-x)\log \pi -\frac{1}{2}\log(\sin\pi x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \end{eqnarray} \)

 

 

테일러 급수
  • 로그감마 함수의 테일러 급수
    \(\log\Gamma(1+x) =-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k \frac{\zeta(k)}{k}x^k\)

 

 

Digamma  함수
  • 감마함수의 로그미분으로 정의

\(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)

 

 

오일러 베타적분

\(B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)

 

 

감마함수와 초월수
  • 감마함수의 유리수에서의 값이 초월수인지의 문제.
  • 다음 경우가 초월수 임이 알려져 있다
    \(\Gamma(\frac{1}{3})\), \(\Gamma(\frac{2}{3})\), \(\Gamma(\frac{1}{4})\), \(\Gamma(\frac{3}{4})\), \(\Gamma(\frac{1}{6})\), \(\Gamma(\frac{5}{6})\)
  • 미해결 문제. 다음은 초월수인가?
    \(\Gamma(\frac{1}{5})\)
  • 무리수와 초월수 항목 참조

 

 

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