리만 제타 함수
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간단한 소개
- 다음과 같이 복소함수를 정의
\(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\), \(\mathfrak{R}(s)>1\) - 이 복소함수를 해석적확장을 통해, 복소평면 전체에서 정의된 함수를 정의할 수 있음.
- 그렇게 복소수 전체에서 정의된 함수를 리만의 제타함수라고 부름.
- 리만가설은 리만제타함수의 해에 관련된 미해결문제.
- 정수론에서 소수의 분포와 관련한 정보를 담고 있는 중요한 함수
해석적확장 (analytic continuation)
- 자코비 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.
\(\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}\)
- 감마함수
\(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)
를 이용하면,
\(\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}\) - 형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.
\(\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)
- 그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같이 수정함.
\(\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)
여기서는 자코비 세타함수의 성질
\(\theta({iy)=\frac{1}{\sqrt{y}}\theta(\frac{i}{y})\)
이 사용됨.
리만제타함수의 함수방정식
- 리만제타함수는 \(s=\frac{1}{2}\) 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.
\(\xi(s) = \xi(1 - s)\)
\(\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\)
(증명)
\(\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}\)
이므로, \(\xi(s)\) 의 정의를 이용하면,
\(\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)
를 얻는다.
이 식에서 \(s \leftrightarrow 1-s\) 는 식을 변화시키지 않음므로 함수방정식을 얻는다.
맨 위의 적분에서는 자코비 세타함수의 모듈라 성질이 사용되었음.
(증명끝)
복소함수로서의 리만제타함수
- meromorphic function
- 1에서 pole 을 가짐
\(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))\)
리만가설
메모
- analytic continuation 해석적 접속
- continuation 연속
- continuation method 연속법
- direct analytic continuation 직접해석접속
하위페이지
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 대학원 과목
관련된 다른 주제들
표준적인 도서 및 추천도서
- Riemann's Zeta Function
- Harold M. Edwards
관련논문과 에세이
- Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis
- P Sarnak, 2004
위키링크
관련링크와 웹페이지
블로그
- Riemann's zeta function
- Williams, Floyd
- June 16, 2008
- MSRI 'A Window into Zeta and Modular Physics'워크샵
- 리만제타함수의 해석적 연속 및 함수방정식에 대한 내용을 담고 있는 강의
- 피타고라스의 창