미분기하학

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 1월 11일 (월) 02:09 판
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개요
  • 위상적으로는 국소적으로 유클리드 공간과 같으며, 그 위에 메트릭이 주어진 곡면의 기하학을 공부함.
  • 비유클리드기하학을 이해하는 틀을 배우게 된다
  • 미분형식을 이용하여 전개할 수도 있고, 미분형식을 사용하지 않고 크리스토펠 기호를 사용하여 전개할 수도 있다

 

 

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

 

다루는 대상
  • 곡선
  • 곡면

 

중요한 개념 및 정리

 

 

곡면을 이해하는 두 가지 관점
  • 3차원 공간에 놓인 곡면
  • 3차원 공간을 생각하지 않고, 거리와 각도를 잴 수 있는 방식이 주어진 곡면
  • 학부 미분기하학에서는 곡면에 대한 첫번째 관점에서 두번째 관점으로의 이동을 배우게 됨

 

 

매개화된 곡면
  • \(X(u,v)\)
  • 벡터장
  • \(X_1:=X_u\), \(X_2:=X_v\)

 

 

제1기본형식(first fundamental form)과 면적소
  • \(g_{ij} : = X_i \cdot X_j\)
  • \(E=g_{11}\), \(F=g_{12}=g_{21}\), \(G=g_{22}\)
  • 제1기본형식
    \(ds^2 =(X_u du+X_v dv)\cdot (X_u du+X_v dv)= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\)
  • 면적소
    \(dA=\sqrt{EG-F^2} \, du\, dv\)

 

 

접속(connection)과 공변미분(covariant derivative)
  • 방향미분의 일반화
  • 벡터 \({\mathbf v}\)와 벡터장 \( {\mathbf Y}\)에 대해서 정의됨
  • \(\nabla_{\mathbf v} {\mathbf Y}\)
  • 3차원 상의 매개화된 곡면의 경우에는 벡터장의 방향미분을 취한뒤, 곡면에 수직한 성분을 빼주는 것으로 얻어진다
  • d

 

 

크리스토펠 기호
  • 정의
    \(\nabla_iX_j = {\Gamma^k}_{ij}X_k\)
  • 3차원 상의 매개화된 곡면의 경우에는 다음과 같이 얻어진다(아래의 *는 곡면에 수직한 성분을 뜻함)
    \(X_{uu}=\Gamma^1_{11}X_u+\Gamma^2_{11}X_v+(*)\)
    \(X_{uv}=\Gamma^1_{12}X_u+\Gamma^2_{12}X_v+(*)\)
    \(X_{vu}=\Gamma^1_{21}X_u+\Gamma^2_{21}X_v+(*)\)
    \(X_{vv}=\Gamma^1_{22}X_u+\Gamma^2_{22}X_v+(*)\)
  • 제1기본형식을 이용한 표현
    \(\Gamma^1_{11}=\frac{GE_u-2FF_u+FE_v}{2(EG-F^2)}\)
    \(\Gamma^1_{12}=\frac{GE_v-FG_u}{2(EG-F^2)}\)
    \(\Gamma^1_{22}=\frac{2GF_v-GG_u-FG_v}{2(EG-F^2)}\)
    \(\Gamma^2_{11}=\frac{2EF_u-EE_v-FE_u}{2(EG-F^2)}\)
    \(\Gamma^1_{12}=\frac{EG_u-FE_v}{2(EG-F^2)}\)
    \(\Gamma^1_{22}=\frac{EG_v-2FF_v+FG_u}{2(EG-F^2)}\)

 

가우스곡률과 가우스의 정리
  • 곡면에 정의된 가우스곡률은 곡선의 곡률과 마찬가지로, 곡면에 수직인 정규벡터(normal vector)의 변화와 관련된 개념
  • 가우스의 정리는 이러한 곡률을 곡면의 제1기본형식을 통해서 표현할 수 있음을 말해준다
    \((EG-F^2)^2 K = \left( \begin{vmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\\frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\\frac{1}{2}E_v & E & F\\\frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix} \right)\)
  • 곡률의 개념이 곡면이 3차원에 놓인 상태와는 무관한 곡면에서 측량할 수 있다는 사실을 말해줌
  • 가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium) 항목 참조

 

 

곡면의 예

 

 

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

 

 

역사

 

 

메모

 

 

다른 과목과의 관련성

 

 

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들
  • 미분다양체론(differentiable manifolds)
    • 다양체란 1차원 공간인 곡선, 2차원 공간인 곡면을 일반화한 n차원의 공간
    • 미분다양체는 미적분학을 할 수 있는 다양체를 뜻함
  • 리만기하학(Riemannian geometry)
    • 곡면에 메트릭을 주는 것을 일반화하여 메트릭이 주어진 미분다양체를 공부함
  • 리군과 Symmetric spaces의 분류

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 

표준적인 교과서
  • do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces.

 

 

추천도서 및 보조교재
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