그린 정리

개요

스토크스 정리의 특수한 경우\[\iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, {d}A=\oint_{\partial D} (P\, {d}x + Q\, {d}y)\]

폐곡선에 둘러싸인 영역의 넓이

폐곡선 C에 둘러싸인 영역의 넓이는 다음 공식으로 주어진다 \[A=\oint_{C} x dy = \oint_{C} - y dx =\frac{1}{2}\oint_{C} x dy-y dx\]

증명

면적은 $A= \iint_{D} 1 \, {d}A$으로 주어지므로, 그린 정리를 이용하여 다음 각각의 경우 $P,Q$ 가 $\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)=1$을 만족함을 보이면 된다.

$P=0,Q=x$
$P=-y,Q=0$
$P=-y/2,Q=x/2$

꼭지점이 주어진 다각형의 넓이

평면위의 점 $P_i=(x_i,y_i), i=0,1,\cdots, n-1$을 꼭지점으로 갖는 n-각형 $\overline{P_0P_1\cdots P_{n-1}}$의 넓이 $A$는 다음으로 주어진다 $$A=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}x_iy_{i+1}-y_ix_{i+1}$$ 이 때, $(x_{n},y_{n})=(x_{0},y_{0}).$ 이다

그린 정리

목차

개요

폐곡선에 둘러싸인 영역의 넓이

증명

꼭지점이 주어진 다각형의 넓이

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