리만 제타 함수

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간단한 소개

다음과 같이 복소함수를 정의
\(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\), \(\operatorname{Re} s> 1\)
이 복소함수를 해석적확장을 통해, 복소평면 전체에서 정의된 함수를 정의할 수 있음.
그렇게 복소수 전체에서 정의된 함수를 리만의 제타함수라고 부름.
리만가설은 리만제타함수의 해에 관련된 미해결문제.
정수론에서 소수의 분포와 관련한 정보를 담고 있는 중요한 함수

해석적확장 (analytic continuation)

자코비 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.
\(\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}\)

감마함수
\(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)
를 이용하면,
\(\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}\)
형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.

\(\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같이 수정함.
모든 s에 대하여 정의된 적분은 다음과 같다.

\(\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

여기서는 자코비 세타함수의 성질

\(\theta({iy)=\frac{1}{\sqrt{y}}\theta(\frac{i}{y})\)

이 사용됨.

리만제타함수의 함수방정식

리만제타함수는 \(s=\frac{1}{2}\) 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.
\(\xi(s) = \xi(1 - s)\)
\(\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\)

(증명)

\(\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}\)

이므로, \(\xi(s)\) 의 정의를 이용하면,

\(\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

를 얻는다.

이 식에서 \(s \leftrightarrow 1-s\) 는 식을 변화시키지 않음므로 함수방정식을 얻는다.

맨 위의 적분에서는 자코비 세타함수의 모듈라 성질이 사용되었음.

(증명끝)

복소함수로서의 리만제타함수

meromorphic function
1에서 pole 을 가짐
\(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))\)

리만가설

메모

analytic continuation 해석적 접속
continuation 연속
continuation method 연속법
direct analytic continuation 직접해석접속

하위페이지

리만제타함수

표준적인 도서 및 추천도서

Riemann's Zeta Function
- Harold M. Edwards

위키링크

참고할만한 자료

Riemann's zeta function
- Williams, Floyd
- June 16, 2008
- MSRI 'A Window into Zeta and Modular Physics'워크샵
- 리만제타함수의 해석적 연속 및 함수방정식에 대한 내용을 담고 있는 강의
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