무리수와 초월수

간단한 소개

• 복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함
  
  • 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.
    \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\)
    
  • 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방
    

• 대수적수론 에 비해 훨씬 어렵고, 체계적인 이론이 확립되어 있지 않음.
  
• 보통 period나 regulator로 얻어지는 수가 초월수인지에 관심을 가짐
  

 

 

초월수의 예

• 파이는 초월수이다
  
• [[파이 π는 초월수이다|]]자연상수 e는 초월수이다
  
• 감마함수의 유리수에서의 값
  \(\Gamma(\frac{1}{3})\), \(\Gamma(\frac{2}{3})\), \(\Gamma(\frac{1}{4})\), \(\Gamma(\frac{3}{4})\), \(\Gamma(\frac{1}{6})\), \(\Gamma(\frac{5}{6})\)
  
• 타원적분
  
• 오일러 베타적분
  

\(a,b,a+b \in \mathbb{Q-Z}\) 라 하자. \(B(a,b)\) 는 초월수이다. 즉

\(B(a,b) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}= \int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\)

는 초월수이다.

 

 

린데만-바이어슈트라스 정리

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겔폰드-슈나이더 정리

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베이커의 정리

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많이 나오는 질문과 답변

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관련된 고교수학 또는 대학수학

• 대수적수론
  

 

관련된 다른 주제들

• 작도문제
• 가우스와 정17각형의 작도
• Gelfond-Schneider theorem
• Baker's theorem

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/초월수
• http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond-Schneider_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Gamma_function

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

관련도서 및 추천도서

• Transcendental Number Theory
  
  • Alan Baker
    
  • Cambridge University Press
    
• Making Transcendence Transparent: An intuitive approach to classical transcendental number theory
  
  • Edward B. Burger, Robert Tubbs
    
  • Springer
    
• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
• 도서검색
  
  • http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
  • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

 

 

관련논문

• Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)
  
  • Dirk Huylebrouck
  • The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
• Transcendental number theory
  
  • Michael Filaseta
  • Lecture notes
  • Lindemann's Theorem
  • The Gelfond-Schneider Theorem and Some Related Results

 

 

관련기사

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=초월수
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=무리수
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블로그

• 무리수이야기
  
  • 정경훈, 네이버 오늘의 과학, 2009-6-9