로그 탄젠트 적분(log tangent integral)

수학노트
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개요

<math>\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=\frac{\pi}{2}\ln \left(\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}\right)</math>:<math>\int_{0}^{\pi} (\ln \tan \frac{x}{4})^2\,dx=\frac{\pi^3}{4}</math>:<math>\int_0^{\infty}\frac{(\ln x)^2}{1+x^2} dx =\int_{0}^{\pi/2}(\ln \tan x)^2\,dx = \frac{ \pi^3}{8}</math>



증명

(보조정리)

<math>\Gamma(s)\beta(s)=\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln^{s-1}\tan x\, dx</math>

여기서 <math>\Gamma(s)</math>는 감마함수,<math>\beta(s)</math>는 디리클레 베타함수.


(증명)

<math>F(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f(n)}{n^s}</math> 라 하자.

<math>\Gamma(s)F(s)=\int_0^{\infty}(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)e^{-nt})t^{s-1}\,dt</math>

<math>z=e^{-t}</math> 로 치환하면,

<math>\Gamma(s)F(s)=\int_0^{1}(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)z^n)(\log\frac{1}{z})^{s-1}\,\frac{dz}{z}</math>


만약 <math>f(n+q)=f(n)</math> 을 만족하면 (가령 디리클레 캐릭터의 경우)

<math>p(z)=\sum_{n=1}^{q-1}f(n)z^n</math>라면, <math>\sum_{n=1}^{\infty}f(n)z^n=\frac{p(z)}{1-z^q}</math> 로 쓸 수 있다.


이를 이용하면,

<math>\Gamma(s)F(s)=\int_0^{1}\frac{p(z)(\log\frac{1}{z})^{s-1}}{1-z^q}\,\frac{dz}{z}</math> 를 얻는다.

<math>f</math>가 <math>f(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라면, <math>q=4</math>, <math>p(z)=z-z^3</math>

따라서

<math>\Gamma(s)\beta(s)=\int_0^{1}\frac{(\log\frac{1}{z})^{s-1}}{1+z^2} \,dz=\int_1^{\infty}\frac{(\log u)^{s-1}}{1+u^2} \,du=\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln^{s-1}\tan x\, dx</math> ■



(따름정리1)

<math>\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \tan x\, dx=G</math>, G는 카탈란 상수.

(증명)

위에서 얻은 보조정리에 <math>s=2</math>를 적용하면,

<math>\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln^{2-1}\tan x\, dx=\Gamma(2)\beta(2)=G</math> ■



(따름정리2)

<math>\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=\frac{\pi}{2}\ln \left(\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}\right)</math>


(증명)

<math>\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=\frac{d}{ds}(\Gamma(s)\beta(s))|_{s=1}</math>임을 보이자.

<math>\frac{d}{ds}(\Gamma(s)\beta(s))=\frac{d}{ds}\int_1^{\infty}\frac{(\log u)^{s-1}}{1+u^2} \,du=\int_1^{\infty}\frac{(\log u)^{s-1}}{1+u^2}\log \log u \,du</math>

<math>s=1</math> 일때,

<math>\Gamma'(1)\beta(1)+\Gamma(1)\beta'(1)=\int_1^{\infty}\log \log u \,\frac{du}{1+u^2}=\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx</math>

이제 다이감마 함수(digamma function)와 디리클레 베타함수에서 얻은 결과를 사용하자.

<math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>, <math>\psi(1) = -\gamma\,\!</math>. 따라서 <math>\Gamma(1)=-\gamma</math>.

<math>\beta'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})</math>.


그러므로

<math>\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=\Gamma'(1)\beta(1)+\Gamma(1)\beta'(1)= -\frac{\pi}{4}\gamma+\beta'(1)=\frac{\pi}{2}\ln \left(\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}\right)</math>

임이 증명된다. ■



역사



메모

<math>f</math>가 <math>f(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, <math>p(z)=z-z^3</math> 다음의 <math>L</math>-함수

<math>L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}</math>

는 아래의 식을 만족한다

<math>

\begin{align} L'(1)-\gamma \frac{\pi}{4}&=\int_0^{1}\frac{z-z^3}{1-z^4}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}\\ &=\int_0^{1}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{1+z^2}\\ &=\int_1^{\infty}\log \log u \,\frac{du}{1+u^2} \\ &=\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx \end{align} </math>

<math>\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi})</math>

<math>\frac{24}{7\sqrt{7}}\int_{\pi/3}^{\pi/2}\ln|\frac{\tan t+\sqrt{7}}{\tan t-\sqrt{7}}|\,dt=L_{-7}(2)=1.15192547054449\cdots</math>




개요



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