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* Introduction to Cyclotomic Fields<br> | * Introduction to Cyclotomic Fields<br> | ||
** Lawrence C. Washington, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982<br> | ** Lawrence C. Washington, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982<br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 14:26 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 크로네커-베버 정리
- cyclotomic units
- class field theory
- Iwasawa theory
기호
- \(\zeta_n\)는 원시 n-단위근
- \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)
갈루아군
(정리)
\(G= \text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)
(증명)
\(\wp \subset K\) 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자.
소수 p에 대한 아틴 심볼은 \(\text{Gal}(K/\mathbb Q)\)의 원소로, \(\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp\) 를 만족시킨다.
\(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b\) 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다. ■
원분체의 데데킨트 제타함수
- \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)에 대한 데데킨트 제타함수
\(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\) - 제타함수의 분해
\(\zeta_K(s)=\prod_{\chi\in \tilde{G}}L(s,\chi)\) 로부터 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리 를 얻을 수 있다 - 자세한 내용은 원분체의 데데킨트 제타함수 항목 참조
디리클레 class number 공식과의 관계
\(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\)
class number
- \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\) 의 class number \(h_K\)
- \(K^{+} :=\mathbb Q(\zeta_n)^{+}=K\cap \mathbb{R}\)
- \(h_K=h_K^{+}h_K^{-}\)
- \(h_K^{-}\)를 relative class number라 한다
메모
- Barry Mazur How can we construct abelian Galois extensions of basic number fields? Bull. Amer. Math. Soc. 48 (2011), 155-209.
- http://arxiv.org/abs/1202.5777
역사
관련된 항목들
- 원분다항식(cyclotomic polynomial)
- 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
- 가우스와 정17각형의 작도
- 데데킨트 제타함수
- 정규소수 (regular prime)
- 베르누이 다항식
- 로바체프스키와 클라우센 함수
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/원분체
- http://en.wikipedia.org/wiki/cyclotomic_field
- http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Cyclotomic_field
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=cyclotomic_field
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Explicit elliptic units, I
- Farshid Hajir and Fernando Rodriguez Villegas, Duke Math. J. Volume 90, Number 3 (1997), 495-521.
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
관련도서
- Introduction to Cyclotomic Fields
- Lawrence C. Washington, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982
- Lawrence C. Washington, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982