이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식

수학노트
둘러보기로 이동 검색으로 이동

개요


데데킨트 제타함수

<math>\zeta_{K}(s):=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}</math>
  • <math>d_K</math>는 이차수체 <math>K</math>의 판별식
  • <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시키는 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math>에 대하여 다음을 정의
<math>L_{d_K}(s):=L(s, \chi)</math>

여기서 <math>L(s,\chi)</math>는 디리클레 L-함수

  • 다음 성질
<math>

\zeta_{K}(s)=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}} </math> 을 이용하면, <math>\zeta_{K}(s)</math>는 두 L-함수의 곱으로 표현가능

<math>\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(s,\chi)=\zeta(s)L_{d_K}(s)</math>


복소이차수체에 대한 디리클레 유수 공식

디리클레 유수 공식

복소 이차 수체(imaginary quadratic field) <math>K</math>에 대하여, 다음 등식이 성립한다.

<math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}</math>

여기서 <math>h_K</math> 는 유수, <math>w_K</math>는 <math>\mathcal{O}_K</math> 의 unit group의 크기, <math>d_K</math>는 <math>K</math>의 판별식(discriminant)

다음과 같이 <math>L(1,\chi)</math> 값의 표현으로 이해할 수도 있다

<math>L(1,\chi)=L_{d_K}(1)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}</math>


따름정리

<math>q \geq 2</math> 는 소수라 가정하자.

<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})</math>, <math>q \geq 7</math> , <math>q \equiv 3 \pmod{4}</math> 인 경우

<math>d_K=-q</math>

<math>\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)</math>

<math>\chi(-1)=-1</math>, 가우스 합은 <math>\tau(\chi)=i\sqrt{q}</math>

디리클레 L-함수 에서 얻은 결과를 이용하면, 다음을 얻는다

<math>L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a=\frac{\pi h_K}{\sqrt{q}}</math>
<math>h_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}</math>


<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})</math> , <math>q \geq 5</math> , <math>q \equiv 1 \pmod{4}</math> 인 경우

<math>d_K=-4q</math>

<math>\chi(-1)=-1</math>, 가우스 합은 <math>\tau(\chi)=2i\sqrt{q}</math>

마찬가지로 디리클레 L-함수 에서 얻은 결과를 이용하면, 다음을 얻는다

<math>L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}\sum_{(a,4q)=1}\chi(a) a=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{q}}</math>
<math>h_K=-\frac{1}{4}\sum_{a=1,(a,4q)=1}^{4q-1}(-1)^{\frac{a-1}{2}}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}</math>



<math>n \geq 2</math>가 squarefree라 하자.

<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-n})</math> 의 경우

<math>n \geq 5</math> 이고 <math>n \equiv 1 \pmod{4}</math> 인 경우, <math>d_K=-4n</math>

<math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{n}}</math>

<math>n \geq 7</math> 이고 <math>n \equiv 3 \pmod{4}</math> 인 경우, <math>d_K=-n</math>

<math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{\pi h_K}{\sqrt{n}}</math>



증명

<math>A=\frac{\sqrt{|d_K|}}{2}</math>는 <math>\mathcal{O}_K</math> 의 integral basis가 만드는 평행사변형의 면적이라고 하자.

<math>\zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}</math>

여기서 <math>a_n</math> 은 norm 이 <math>n</math>인, 모든 ideal의 개수이다.

<math>a_n(C)</math> 는 ideal class <math>C</math> 에서, norm 이 <math>n</math>인 ideal의 개수로 정의하자.

증명의 아이디어

각각의 ideal class에 대하여, 주어진 norm 보다 작은 ideal의 개수를 estimate한다

즉, <math>A_M(C)=\sum_{n=1}^M a_n(C)</math> 의 크기를 알아보면 된다.

  • principal ideal class <math>C</math>
    • <math>A_M(C)=\sum_{n=1}^M a_n(C)</math>
    • <math>|A_M(C)-\frac{\pi}{Aw}M|\leq C \sqrt{M}</math>, C는 적당한 상수
  • 다른 아이디얼 클래스 <math>C'</math>
    • <math>A_M(C')=\sum_{n=1}^M a_n(C')</math>
    • <math>|A_M(C')-\frac{\pi}{Aw}M|\leq C' \sqrt{M}</math> 임을 보일 수 있다.
  • 유수의 유한성에 의하여, 적당한 상수 <math>C_K</math>가 존재하여:<math>|A_M-\frac{\pi h}{Aw}M|\leq C_K \sqrt{M}</math> 가 성립한다.

다음과 같이 L-급수를 정의하자.

<math>f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}</math>

위에서 얻은 부등식에 의하여, 다음부등식을 얻는다.

<math>|\sum_{n=1}^{M}(a_n-\frac{h\pi}{Aw})|=|A_M-\frac{h\pi }{Aw}M|\leq C_K \sqrt{M}</math>

따라서

<math>f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}</math> 는 <math>s > \frac{1}{2}</math> 에서 수렴하고, <math>f(1)</math> 이 존재한다.

<math>s > 1</math> 이면,

<math>f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}=\zeta_{K}(s)-\frac{h\pi}{Aw}\zeta(s)</math>
<math>\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\lim_{s\to 1} (s-1)f(s)+\lim_{s\to 1} (s-1)\frac{h\pi}{Aw}\zeta(s)=\frac{h\pi}{Aw}</math>



실 이차수체에 대한 디리클레 유수 공식

디리클레 유수 공식

실 이차 수체(real quadratic field) <math>K</math>에 대하여, 다음 등식이 성립한다.

<math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}</math>

<math>h_K</math> 는 유수, <math>d_K</math>는 <math>K</math>의 판별식(discriminant), <math>\epsilon_K</math>은 fundamental unit



따름정리

실 이차수체 <math>K</math>, <math>d_K=q</math>는 판별식

<math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시키는 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math>

<math>L_{d_K}(s):=L(s, \chi)</math>

<math>L_{d_K}(1)=L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{q}\sum_{a=1,(a,q)=1}^{q-1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{q})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}</math>


소수 <math>q</math>에 대하여, <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})</math>

<math>q \geq 5</math>, <math>q \equiv 1 \pmod{4}</math> 인 경우

<math>2 h_K \ln \epsilon_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{q})</math>

<math>q \geq 3</math>, <math>q \equiv 3 \pmod{4}</math> 인 경우

<math>2 h_K \ln \epsilon_K=-\sum_{a=1,(a,4q)=1}^{4q-1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{4q})</math>

로 주어진다.



증명

<math>q \geq 5</math>, <math>q \equiv 1 \pmod{4}</math> 인 경우 <math>d_K=q</math>

<math>\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=L_{d_K}(1)</math> 이므로 디리클레 L-함수 에서 얻어진 결과
<math>L_{d_K}(1)=L(1,\chi)=-\frac{1}{\sqrt{q}}\sum_{a=1}^{q-1}(\frac{a}{q})\log(\sin \frac{a\pi}{q})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{q}}</math>

<math>q \geq 3</math>, <math>q \equiv 3 \pmod{4}</math> 인 경우 <math>d_K=4q</math>

소수 <math>p \neq 2 , q</math>에 대하여

<math>\chi(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)</math>

마찬가지로 디리클레 L-함수 에서 얻어진 결과에 의하여

<math>L(1,\chi)=-\frac{1}{2\sqrt{q}}\sum_{(a,4q)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{4q})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{2\sqrt{q}}</math>


(증명끝)



예

<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})</math>, <math>\epsilon_K=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>, <math>d_K=5</math>, <math>h_K=1</math>

<math>h_K =\frac{-1}{{2 \ln \epsilon_K} }\sum_{a=1}^{4}(\frac{a}{5})\log(\sin \frac{a\pi}{5})=1</math>

<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{13})</math>, <math>\epsilon_K=\frac{3+\sqrt{13}}{2}</math>, <math>d_K=13</math>, <math>h_K=1</math>

<math>h_K =\frac{-1}{{2 \ln \epsilon_K} }\sum_{a=1}^{12}(\frac{a}{13})\log(\sin \frac{a\pi}{13})=1</math>

<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})</math>, <math>d_K=12</math>, <math>\epsilon_K=2+\sqrt{3}</math>, <math>h_K=1</math>

<math>-\sum_{(a,12)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{12})=-(\log\sin\frac{\pi}{12}-\log\sin\frac{5\pi}{12}-\log\sin\frac{7\pi}{12}+\log\sin\frac{11\pi}{12})= 2\ln (2+\sqrt{3})=2.6339\cdots </math>


<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{7})</math> , <math>d_K=28</math>, <math>\epsilon_K=8+3\sqrt{7}</math>, <math>h_K=1</math>

<math>-\sum_{(a,28)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{28})=2\ln (8+3\sqrt{7})=5.53732\cdots</math>




가우스합과 유수

  • 7이상의 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 에 대하여 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math> 의 유수는 다음과 같다
<math>h_K=-\sum_{a=1}^{p-1}\left(\frac{a}{p}\right)\frac{a}{p}</math>
  • 디리클레 L-함수 항목 참조
  • 이 결과와 순환소수를 결합하면 [[순환소수와 이차 수체의 유수] 의 멋진 결과를 얻을 수 있다



역사

  • 수학사 연표
  • 1837 - 디리클레가 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리를 증명



관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스




사전 형태의 자료



관련도서


리뷰논문, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'class'}, {'LOWER': 'number'}, {'LEMMA': 'formula'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=이차_수체에_대한_디리클레_유수_(class_number)_공식&oldid=52438"