"타원곡선 y²=x³-x"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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<h5>제타함수</h5>
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">유한체에서의 해의 개수</h5>
  
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* [[대수적다양체의 제타함수]] 항목 참조
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*  유한체에서의 해의 개수<br><math>E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3-x\}\cup \{(\infty,\infty})\}</math><br><math>M_p=\#E(\mathbb{F}_p)</math><br><math>a_p=p+1-M_p</math><br>
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*  로컬제타함수<br><math>p\neq 2</math> 인 경우<br><math>Z_p(T)=\frac{1-a_pT+pT^2}{(1 - T)(1- pT)}</math><br><math>p= 2</math>인 경우<br><math>Z_2(T)=\frac{1-a_2T}{(1 - T)(1- 2T)}=\frac{1}{(1 - T)(1- 2T)}</math><br>
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*  아래 표 참조<br>
  
 
 
 
 
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<h5>제타함수</h5>
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* [[대수적다양체의 제타함수]] 항목 참조
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*  로컬제타함수<br><math>p\neq 2</math> 인 경우<br><math>Z_p(T)=\frac{1-a_pT+pT^2}{(1 - T)(1- pT)}</math><br><math>p= 2</math>인 경우<br><math>Z_2(T)=\frac{1-a_2T}{(1 - T)(1- 2T)}=\frac{1}{(1 - T)(1- 2T)}</math><br>
  
 
 
 
 
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<h5>모듈라 형식</h5>
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*  유리수체 위의 해의 개수<br><math>E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3-x\}\cup \{(\infty,\infty})\}</math><br><math>M_p=\#E(\mathbb{F}_p)</math><br><math>a_p=p+1-M_p</math><br>
 
 
*  모듈라 형식<br><math>f(\tau)={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots</math><br><math>\eta(\tau)</math>는 [[데데킨트 에타함수]]<br>
 
*  모듈라 형식<br><math>f(\tau)={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots</math><br><math>\eta(\tau)</math>는 [[데데킨트 에타함수]]<br>
 
*  표<br><math> \begin{array}{ccc} {p}  & {a_p} & {c_p} \\  2 & 0 & 0 \\  3 & 0 & 0 \\  5 & -2 & -2 \\  7 & 0 & 0 \\  11 & 0 & 0 \\  13 & 6 & 6 \\  17 & 2 & 2 \\  19 & 0 & 0 \\  23 & 0 & 0 \\  29 & -10 & -10 \\  31 & 0 & 0 \\  37 & -2 & -2 \\  41 & 10 & 10 \\  43 & 0 & 0 \\  47 & 0 & 0 \\  53 & 14 & 14 \\  59 & 0 & 0 \\  61 & -10 & -10 \\  67 & 0 & 0 \\  71 & 0 & 0 \end{array} </math><br>
 
*  표<br><math> \begin{array}{ccc} {p}  & {a_p} & {c_p} \\  2 & 0 & 0 \\  3 & 0 & 0 \\  5 & -2 & -2 \\  7 & 0 & 0 \\  11 & 0 & 0 \\  13 & 6 & 6 \\  17 & 2 & 2 \\  19 & 0 & 0 \\  23 & 0 & 0 \\  29 & -10 & -10 \\  31 & 0 & 0 \\  37 & -2 & -2 \\  41 & 10 & 10 \\  43 & 0 & 0 \\  47 & 0 & 0 \\  53 & 14 & 14 \\  59 & 0 & 0 \\  61 & -10 & -10 \\  67 & 0 & 0 \\  71 & 0 & 0 \end{array} </math><br>
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* [[타니야마-시무라 추측(정리)]]<br>
 
* [[타니야마-시무라 추측(정리)]]<br>
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* [[#]]<br>
  
 
 
 
 

2010년 2월 11일 (목) 15:03 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 예를 통한 여러가지 타원곡선과 관련한 개념의 이해

 

 

판별식과 conductor
  • 판별식 \(\Delta=64\)
  • conductor \(N=32\)

 

 

실수해

[/pages/2061314/attachments/2299029 ]

 

 

유리수해
  • \(E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \simeq \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\)
  • rank 는 0

 

 

periods
  • 주기
    \(2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\)
    \(2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\)
  • 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli 의 special values 부분과 비교

 

 

 

 

유한체에서의 해의 개수
  • 유한체에서의 해의 개수
    \(E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3-x\}\cup \{(\infty,\infty})\}\)
    \(M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\)
    \(a_p=p+1-M_p\)
  • 아래 표 참조

 

 

제타함수
  • 대수적다양체의 제타함수 항목 참조
  • 로컬제타함수
    \(p\neq 2\) 인 경우
    \(Z_p(T)=\frac{1-a_pT+pT^2}{(1 - T)(1- pT)}\)
    \(p= 2\)인 경우
    \(Z_2(T)=\frac{1-a_2T}{(1 - T)(1- 2T)}=\frac{1}{(1 - T)(1- 2T)}\)

 

 

모듈라 형식
  • 모듈라 형식
    \(f(\tau)={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots\)
    \(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수
  • 표
    \( \begin{array}{ccc} {p} & {a_p} & {c_p} \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 5 & -2 & -2 \\ 7 & 0 & 0 \\ 11 & 0 & 0 \\ 13 & 6 & 6 \\ 17 & 2 & 2 \\ 19 & 0 & 0 \\ 23 & 0 & 0 \\ 29 & -10 & -10 \\ 31 & 0 & 0 \\ 37 & -2 & -2 \\ 41 & 10 & 10 \\ 43 & 0 & 0 \\ 47 & 0 & 0 \\ 53 & 14 & 14 \\ 59 & 0 & 0 \\ 61 & -10 & -10 \\ 67 & 0 & 0 \\ 71 & 0 & 0 \end{array} \)

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

관련도서 및 추천도서

 

 

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