"타원곡선 y²=x³-x"의 두 판 사이의 차이
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| − | * 복소수 위에 정의된 타원곡선은 정사각형 격자에 대응된다 | + | * 복소수 위에 정의된 타원곡선은 정사각형 격자에 대응된다 |
| − | * <math>x\to -x</math> , <math>y\to iy</math> 는 타원곡선의 대칭이다 | + | * <math>x\to -x</math> , <math>y\to iy</math> 는 타원곡선의 대칭이다 |
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| − | * 주기는 다음과 같이 주어진다:<math>\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots</math>:<math>\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}</math | + | * 주기는 다음과 같이 주어진다:<math>\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots</math>:<math>\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}</math> |
| − | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분]]:<math>2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math>:<math>2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots</math | + | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분]]:<math>2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math>:<math>2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots</math> |
| − | * [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli]] | + | * [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli]] 의 special values 부분과 비교[http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_1%5E%7Binfty%7D+1/sqrt%28x%5E3-x%29+dx ] |
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| − | * <math>p\neq 2</math> | + | * <math>p\neq 2</math> 인 경우:<math>Z_p(T)=\frac{1-a_pT+pT^2}{(1 - T)(1- pT)}</math> |
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| − | * 표:<math> \begin{array}{c|c|c} {p} & {a_p} & {c_p} \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 5 & -2 & -2 \\ 7 & 0 & 0 \\ 11 & 0 & 0 \\ 13 & 6 & 6 \\ 17 & 2 & 2 \\ 19 & 0 & 0 \\ 23 & 0 & 0 \\ 29 & -10 & -10 \\ 31 & 0 & 0 \\ 37 & -2 & -2 \\ 41 & 10 & 10 \\ 43 & 0 & 0 \\ 47 & 0 & 0 \\ 53 & 14 & 14 \\ 59 & 0 & 0 \\ 61 & -10 & -10 \\ 67 & 0 & 0 \\ 71 & 0 & 0 \end{array} </math | + | * 표:<math> \begin{array}{c|c|c} {p} & {a_p} & {c_p} \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 5 & -2 & -2 \\ 7 & 0 & 0 \\ 11 & 0 & 0 \\ 13 & 6 & 6 \\ 17 & 2 & 2 \\ 19 & 0 & 0 \\ 23 & 0 & 0 \\ 29 & -10 & -10 \\ 31 & 0 & 0 \\ 37 & -2 & -2 \\ 41 & 10 & 10 \\ 43 & 0 & 0 \\ 47 & 0 & 0 \\ 53 & 14 & 14 \\ 59 & 0 & 0 \\ 61 & -10 & -10 \\ 67 & 0 & 0 \\ 71 & 0 & 0 \end{array} </math> |
| − | * [[타니야마-시무라 추측(정리)]] 항목 참조 | + | * [[타니야마-시무라 추측(정리)]] 항목 참조 |
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
| − | * [[타니야마-시무라 추측(정리)]] | + | * [[타니야마-시무라 추측(정리)]] |
| − | * [[페르마의 마지막 정리]] | + | * [[페르마의 마지막 정리]] |
| − | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분]] | + | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분]] |
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNGVjMDg4ZWEtMTk1Yy00MjM0LWFmZDItNTk4MGIzMzc5M2Q5&sort=name&layout=list&num=50 | * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNGVjMDg4ZWEtMTk1Yy00MjM0LWFmZDItNTk4MGIzMzc5M2Q5&sort=name&layout=list&num=50 | ||
| − | * [http://www.warwick.ac.uk/%7Emasgaj/ftp/data/INDEX.html Elliptic Curve Data] | + | * [http://www.warwick.ac.uk/%7Emasgaj/ftp/data/INDEX.html Elliptic Curve Data] |
** elliptic curve "32a2" | ** elliptic curve "32a2" | ||
* [http://modular.math.washington.edu/Tables/ The Modular Forms Database] | * [http://modular.math.washington.edu/Tables/ The Modular Forms Database] | ||
* http://oeis.org/A002171 | * http://oeis.org/A002171 | ||
2014년 1월 26일 (일) 04:01 판
개요
- 타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 예를 통한 여러가지 타원곡선과 관련한 개념의 이해
- 복소수 위에 정의된 타원곡선은 정사각형 격자에 대응된다
- \(x\to -x\) , \(y\to iy\) 는 타원곡선의 대칭이다
- complex multiplication
- elliptic curve "32a2"
판별식과 conductor
- 판별식 \(\Delta=64\)
- conductor \(N=32\)
실수해
유리수해
- \(E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \simeq \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\)
- rank 는 0
주기(periods)
- 타원곡선의 주기 의 공식을 이용하기 위해 \(e_1=1, e_2=0, e_3=-1\)로 두자
- 주기는 다음과 같이 주어진다\[\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\]\[\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}\]
- 렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분\[2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\]\[2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\]
- 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli 의 special values 부분과 비교[1]
유한체에서의 해의 개수
- 유한체에서의 해의 개수\[E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3-x\}\cup \{(\infty,\infty)\}\]\[M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\]\[a_p=p+1-M_p\]
- 아래 표 참조
제타함수
- 대수적다양체의 제타함수 항목 참조
- 로컬제타함수
- \(p\neq 2\) 인 경우\[Z_p(T)=\frac{1-a_pT+pT^2}{(1 - T)(1- pT)}\]
- \(p= 2\)인 경우\[Z_2(T)=\frac{1-a_2T}{(1 - T)(1- 2T)}=\frac{1}{(1 - T)(1- 2T)}\]
모듈라 형식
- 모듈라 형식
\[ \begin{aligned} f(\tau)&={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2\\ {}&=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots \end{aligned} \] 여기서 \(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수
- 표\[ \begin{array}{c|c|c} {p} & {a_p} & {c_p} \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 5 & -2 & -2 \\ 7 & 0 & 0 \\ 11 & 0 & 0 \\ 13 & 6 & 6 \\ 17 & 2 & 2 \\ 19 & 0 & 0 \\ 23 & 0 & 0 \\ 29 & -10 & -10 \\ 31 & 0 & 0 \\ 37 & -2 & -2 \\ 41 & 10 & 10 \\ 43 & 0 & 0 \\ 47 & 0 & 0 \\ 53 & 14 & 14 \\ 59 & 0 & 0 \\ 61 & -10 & -10 \\ 67 & 0 & 0 \\ 71 & 0 & 0 \end{array} \]
- 타니야마-시무라 추측(정리) 항목 참조
관련된 항목들