"타원곡선 y²=x³-x"의 두 판 사이의 차이

2021년 9월 2일 (목) 18:49 기준 최신판

개요

타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 예를 통한 여러가지 타원곡선과 관련한 개념의 이해
복소수 위에 정의된 타원곡선은 정사각형 격자에 대응된다
\(x\to -x\) , \(y\to iy\) 는 타원곡선의 대칭이다
complex multiplication
elliptic curve "32a2"

판별식과 conductor

판별식 \(\Delta=64\)
conductor \(N=32\)

실수해

유리수해

\(E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \simeq \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\)
rank 는 0

주기(periods)

타원곡선의 주기 의 공식을 이용하기 위해 \(e_1=1, e_2=0, e_3=-1\)로 두자
주기는 다음과 같이 주어진다\[\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\]\[\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}\]
렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분\[2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\]\[2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\]
모듈라 군, j-invariant and the singular moduli 의 special values 부분과 비교[1]

유한체에서의 해의 개수

유한체에서의 해의 개수\[E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-x\}\cup \{(\infty,\infty)\}\]\[M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\]\[a_p=p+1-M_p\]
아래 표 참조

제타함수

대수적다양체의 제타함수 항목 참조
로컬제타함수
\(p\neq 2\) 인 경우\[Z_p(T)=\frac{1-a_pT+pT^2}{(1 - T)(1- pT)}\]
\(p= 2\)인 경우\[Z_2(T)=\frac{1-a_2T}{(1 - T)(1- 2T)}=\frac{1}{(1 - T)(1- 2T)}\]

모듈라 형식

모듈라 형식

\[ \begin{aligned} f(\tau)&={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2\\ {}&=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots \end{aligned} \] 여기서 \(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수

표

\[ \begin{array}{c|c|c} {p} & {a_p} & {c_p} \\ \hline 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 5 & -2 & -2 \\ 7 & 0 & 0 \\ 11 & 0 & 0 \\ 13 & 6 & 6 \\ 17 & 2 & 2 \\ 19 & 0 & 0 \\ 23 & 0 & 0 \\ 29 & -10 & -10 \\ 31 & 0 & 0 \\ 37 & -2 & -2 \\ 41 & 10 & 10 \\ 43 & 0 & 0 \\ 47 & 0 & 0 \\ 53 & 14 & 14 \\ 59 & 0 & 0 \\ 61 & -10 & -10 \\ 67 & 0 & 0 \\ 71 & 0 & 0 \end{array} \]

타니야마-시무라 추측(정리) 항목 참조

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-<h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+==개요==
-* [[타원곡선 y²=x³-x|타원곡선 y^2=x^3-x]]<br>
+*  타원곡선 <math>y^2=x^3-x</math>의 예를 통한 여러가지 타원곡선과 관련한 개념의 이해
+*  복소수 위에 정의된 타원곡선은 정사각형 격자에 대응된다
+* <math>x\to -x</math> , <math>y\to iy</math> 는 타원곡선의 대칭이다
+* [[complex multiplication]]
+*  elliptic curve "32a2"
-<h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">개요</h5>
+==판별식과 conductor==
-*  타원곡선 <math>y^2=x^3-x</math>의 예를 통한 여러가지 타원곡선과 관련한 개념의 이해<br>
+*  판별식 <math>\Delta=64</math>
-*  square lattice<br>
+*  conductor <math>N=32</math>
-*  x\to -x and y\to iy is a symmetry<br>
-* [[complex multiplication]]<br>
+==실수해==
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">판별식과 conductor</h5>
+[[파일:타원곡선 y²=x³-x1.gif]]
-*  판별식 <math>\Delta=64</math><br>
-*  conductor <math>N=32</math><br>
+==유리수해==
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">실수해</h5>
+* <math>E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \simeq \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}</math>
+*  rank 는 0
-[/pages/2061314/attachments/2299029 ]
+==주기(periods)==
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">유리수해</h5>
+* [[타원곡선의 주기]] 의 공식을 이용하기 위해 <math>e_1=1, e_2=0, e_3=-1</math>로 두자
+*  주기는 다음과 같이 주어진다:<math>\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots</math>:<math>\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}</math>
+* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분]]:<math>2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math>:<math>2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots</math>
+* [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli]] 의 special values 부분과 비교[http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_1%5E%7Binfty%7D+1/sqrt%28x%5E3-x%29+dx ]
-* <math>E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \simeq \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}</math><br>
-*  rank 는 0<br>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">주기(periods)</h5>
+==유한체에서의 해의 개수==
-* [[타원곡선의 주기]] 의 공식을 이용하기 위해 <math>e_1=1, e_2=0, e_3=-1</math>로 두자
+*  유한체에서의 해의 개수:<math>E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-x\}\cup \{(\infty,\infty)\}</math>:<math>M_p=\#E(\mathbb{F}_p)</math>:<math>a_p=p+1-M_p</math>
-*  주기는 다음과 같이 주어진다<br><math>\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots</math><br><math>\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}</math><br>
+*  아래 표 참조
-* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분]]<br><math>2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math><br><math>2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots</math><br>
-* [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli]] 의 special values 부분과 비교[http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_1%5E%7Binfty%7D+1/sqrt%28x%5E3-x%29+dx ]
+===제타함수===
-<h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 2em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">유한체에서의 해의 개수</h5>
+* [[대수적다양체의 제타함수]] 항목 참조
+*  로컬제타함수
+* <math>p\neq 2</math> 인 경우:<math>Z_p(T)=\frac{1-a_pT+pT^2}{(1 - T)(1- pT)}</math>
+* <math>p= 2</math>인 경우:<math>Z_2(T)=\frac{1-a_2T}{(1 - T)(1- 2T)}=\frac{1}{(1 - T)(1- 2T)}</math>
-*  유한체에서의 해의 개수<br><math>E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3-x\}\cup \{(\infty,\infty})\}</math><br><math>M_p=\#E(\mathbb{F}_p)</math><br><math>a_p=p+1-M_p</math><br>
-*  아래 표 참조<br>
+===모듈라 형식===
-<h5>제타함수</h5>
+*  모듈라 형식
+:<math>
+\begin{aligned}
+f(\tau)&={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2\\
+{}&=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots
+\end{aligned}
+</math>
+여기서 <math>\eta(\tau)</math>는 [[데데킨트 에타함수]]
+*  표
+:<math> \begin{array}{c|c|c} {p}  & {a_p} & {c_p} \\
+\hline 2 & 0 & 0 \\  3 & 0 & 0 \\  5 & -2 & -2 \\  7 & 0 & 0 \\  11 & 0 & 0 \\  13 & 6 & 6 \\  17 & 2 & 2 \\  19 & 0 & 0 \\  23 & 0 & 0 \\  29 & -10 & -10 \\  31 & 0 & 0 \\  37 & -2 & -2 \\  41 & 10 & 10 \\  43 & 0 & 0 \\  47 & 0 & 0 \\  53 & 14 & 14 \\  59 & 0 & 0 \\  61 & -10 & -10 \\  67 & 0 & 0 \\  71 & 0 & 0 \end{array} </math>
-* [[대수적다양체의 제타함수]] 항목 참조
+* [[타니야마-시무라 추측(정리)]] 항목 참조
-*  로컬제타함수<br><math>p\neq 2</math> 인 경우<br><math>Z_p(T)=\frac{1-a_pT+pT^2}{(1 - T)(1- pT)}</math><br><math>p= 2</math>인 경우<br><math>Z_2(T)=\frac{1-a_2T}{(1 - T)(1- 2T)}=\frac{1}{(1 - T)(1- 2T)}</math><br>
+==관련된 항목들==
+* [[타니야마-시무라 추측(정리)]]
+* [[페르마의 마지막 정리]]
+* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분]]
-<h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 2em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">모듈라 형식</h5>
-*  모듈라 형식<br><math>f(\tau)={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots</math><br><math>\eta(\tau)</math>는 [[데데킨트 에타함수]]<br>
-*  표<br><math> \begin{array}{ccc} {p}  & {a_p} & {c_p} \\  2 & 0 & 0 \\  3 & 0 & 0 \\  5 & -2 & -2 \\  7 & 0 & 0 \\  11 & 0 & 0 \\  13 & 6 & 6 \\  17 & 2 & 2 \\  19 & 0 & 0 \\  23 & 0 & 0 \\  29 & -10 & -10 \\  31 & 0 & 0 \\  37 & -2 & -2 \\  41 & 10 & 10 \\  43 & 0 & 0 \\  47 & 0 & 0 \\  53 & 14 & 14 \\  59 & 0 & 0 \\  61 & -10 & -10 \\  67 & 0 & 0 \\  71 & 0 & 0 \end{array} </math><br>
-* [[타니야마-시무라 추측(정리)]] 항목 참조<br>
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNGVjMDg4ZWEtMTk1Yy00MjM0LWFmZDItNTk4MGIzMzc5M2Q5&sort=name&layout=list&num=50
+* [http://www.warwick.ac.uk/%7Emasgaj/ftp/data/INDEX.html Elliptic Curve Data]
+** elliptic curve "32a2"
+* [http://modular.math.washington.edu/Tables/ The Modular Forms Database]
+* http://oeis.org/A002171
-<h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">재미있는 사실</h5>
-* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
-<h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">역사</h5>
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
-<h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">메모</h5>
-<h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">관련된 항목들</h5>
-* [[타니야마-시무라 추측(정리)]]<br>
-* [[페르마의 마지막 정리]]<br>
-* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분]]<br>
-<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
-* http://functions.wolfram.com/
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
-* [[매스매티카 파일 목록]]
-* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_1%5E%7Binfty%7D+1/sqrt%28x%5E3-x%29+dx http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_1^{infty}+1/sqrt(x^3-x)+dx]<br>
-<h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">사전 형태의 자료</h5>
-*   <br>
-*   <br>
-* http://ko.wikipedia.org/wiki/
-* http://en.wikipedia.org/wiki/
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-<h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">관련논문</h5>
-* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
-* http://dx.doi.org/