순환소수와 이차 수체의 유수

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

==개요

• 1/7의 순환소수전개를 구하는 과정은 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\) 의 class number 를 계산하기에 충분한 정보를 담고 있다
  \(\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\) 의 경우 
  

\(g_0=1,g_1=3,g_2=2,g_3=6,g_4=4,g_5=5,g_6=1,\cdots\)

\(y_1=1,y_2=4,y_3=2,y_4=8,y_5=5,y_6=7,\cdots\)

\(10g_{k-1}=7 y_k+g_k\)

여기서

\(\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1\) 가 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\)의 class number이다.

• \(p \equiv 3 \pmod{4}\)인 경우에 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\)의 class number 를 구하는 정리

 

 

 

순환소수 전개를 통한 class number의 계산

• 7이상의 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 에 대하여 숫자 "10"이  군 \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)의 원시근(primitive root)이라 하자
  
  • cyclic numbers
    
• 예 p=7, p=23
  
• 이 경우 \(1/p\)의 순환소수 전개를 통해 다음과 같이 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\)의 class number h를 계산할 수 있다
  \(\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}\)
  \(h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}\)
  

(증명)

• [Girstmair94] 참조
  

디리클레 L-함수 에 있는 다음 결과를 이용한다.

\(h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{k}{p})\frac{k}{p}\)

 

\({g_k}\)를 \(g_k \equiv 10^k \pmod p\) 를 만족시키는 \(\{1,\cdots,p-1\}\)의 원소로 정의하자.

10이  \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)를 생성하므로 

\(h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{g_k}{p})\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{g_k}{p}\)

한편 \(\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}\) 를 순환소수전개로 얻는다면,

\(10g_{k-1}=p y_k+g_k\) 즉,

\(y_k=\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}\) (\(k=1,\cdots, p-1\)) 가 성립한다.

다시 증명으로 돌아가자

 

\(11h=10h+h=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{10g_k}{p}-\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k\)

 

따라서 

 

\(h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}\)  ■

 

 

 

p=7인 경우의 예

• 7의 경우
  \(\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\)
  \(\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1\)
  정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) 에서 확인할 수 있듯이  \(\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\)의 class number는 1이다.
  

 

 

 

p=23의 경우

• 23의 경우
  \(\frac{1}{23}=0.\dot{0}43478260869565217391\dot{3}\)
  \(\frac{-0+4-3+4-7+8-2+6-0+8-6+9-5+6-5+2-1+7-3+9-1+3}{11}=3\)
  정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) 에서 확인할 수 있듯이 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-23})\)의 class number는 3이다.
  

 

 

 

 

==cyclic numbers

• cyclic numbers
• 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313,... 는 10을 원시근으로 갖는 소수
  
  • Cyclic numbers: primes with primitive root 10 참조
    

 

 

 

==역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

==메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

==관련된 항목들

• 수체의 class number

 

 

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

 

==사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

==리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

==관련논문

• [Girstmair94]A "Popular" Class Number Formula Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 10 (Dec., 1994), pp. 997-1001
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

==관련도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=