"순환소수와 이차 수체의 유수"의 두 판 사이의 차이

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*  1/7의 순환소수전개를 구하는 과정은 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-7})</math> 의 class number 를 계산하기에 충분한 정보를 담고 있다:<math>\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}</math> 의 경우
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<math>g_0=1,g_1=3,g_2=2,g_3=6,g_4=4,g_5=5,g_6=1,\cdots</math>
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<math>y_1=1,y_2=4,y_3=2,y_4=8,y_5=5,y_6=7,\cdots</math>
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<math>10g_{k-1}=7 y_k+g_k</math>
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<math>\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1</math> 가 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-7})</math>의 class number이다.
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* <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math>인 경우에 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math>의 class number 를 구하는 정리
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==순환소수 전개를 통한 class number의 계산==
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*  7이상의 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 에 대하여 숫자 "10"이  군 <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times</math>의 [[원시근(primitive root)]]이라 하자
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** [[cyclic numbers]]
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*  예 p=7, p=23
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*  이 경우 <math>1/p</math>의 [[분수와 순환소수|순환소수]] 전개를 통해 다음과 같이 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math>의 유수 h를 계산할 수 있다
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:<math>\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}</math>
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:<math>h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}</math>
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* '''[Girstmair94]''' 참조
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[[디리클레 L-함수]] 에 있는 다음 결과를 이용한다.
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:<math>h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{k}{p})\frac{k}{p}</math>
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<math>{g_k}</math>를 <math>g_k \equiv 10^k \pmod p</math> 를 만족시키는 <math>\{1,\cdots,p-1\}</math>의 원소로 정의하자.
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10이 <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times</math>를 생성하므로
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:<math>h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{g_k}{p})\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{g_k}{p}</math>
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한편 <math>\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}</math> 를 순환소수전개로 얻는다면,
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<math>10g_{k-1}=p y_k+g_k</math> 즉, 다음이 성립한다
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:<math>y_k=\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}</math> (<math>k=1,\cdots, p-1</math>)
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다시 증명으로 돌아가자.
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:<math>11h=10h+h=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{10g_k}{p}-\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k</math>
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:<math>h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}</math>  ■
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==p=7인 경우의 예==
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*  7의 경우
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:<math>\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}</math>
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:<math>\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1</math>
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* [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] 에서 확인할 수 있듯이  <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-7})</math>의 class number는 1이다.
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==p=23의 경우==
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*  23의 경우:<math>\frac{1}{23}=0.\dot{0}43478260869565217391\dot{3}</math>:<math>\frac{-0+4-3+4-7+8-2+6-0+8-6+9-5+6-5+2-1+7-3+9-1+3}{11}=3</math>
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* [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] 에서 확인할 수 있듯이 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-23})</math>의 class number는 3이다.
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==cyclic numbers==
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* [[cyclic numbers]]
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*  7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313,... 는 10을 원시근으로 갖는 소수
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** [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A001913 Cyclic numbers: primes with primitive root 10] 참조
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==역사==
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사 연표]]
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==관련된 항목들==
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* [[수체의 class number]]
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==관련논문==
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* '''[Girstmair94]'''[http://www.jstor.org/stable/2975167 A "Popular" Class Number Formula] Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 10 (Dec., 1994), pp. 997-1001
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[[분류:정수론]]

2014년 7월 12일 (토) 22:11 기준 최신판

개요

  • 1/7의 순환소수전개를 구하는 과정은 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\) 의 class number 를 계산하기에 충분한 정보를 담고 있다\[\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\] 의 경우


\(g_0=1,g_1=3,g_2=2,g_3=6,g_4=4,g_5=5,g_6=1,\cdots\)

\(y_1=1,y_2=4,y_3=2,y_4=8,y_5=5,y_6=7,\cdots\)

\(10g_{k-1}=7 y_k+g_k\)

여기서

\(\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1\) 가 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\)의 class number이다.

  • \(p \equiv 3 \pmod{4}\)인 경우에 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\)의 class number 를 구하는 정리




순환소수 전개를 통한 class number의 계산

  • 7이상의 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 에 대하여 숫자 "10"이 군 \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)의 원시근(primitive root)이라 하자
  • 예 p=7, p=23
  • 이 경우 \(1/p\)의 순환소수 전개를 통해 다음과 같이 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\)의 유수 h를 계산할 수 있다

\[\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}\] \[h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}\]

증명
  • [Girstmair94] 참조

디리클레 L-함수 에 있는 다음 결과를 이용한다. \[h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{k}{p})\frac{k}{p}\]

\({g_k}\)를 \(g_k \equiv 10^k \pmod p\) 를 만족시키는 \(\{1,\cdots,p-1\}\)의 원소로 정의하자.

10이 \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)를 생성하므로 \[h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{g_k}{p})\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{g_k}{p}\]

한편 \(\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}\) 를 순환소수전개로 얻는다면,

\(10g_{k-1}=p y_k+g_k\) 즉, 다음이 성립한다 \[y_k=\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}\] (\(k=1,\cdots, p-1\))

다시 증명으로 돌아가자. \[11h=10h+h=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{10g_k}{p}-\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k\] 따라서 \[h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}\] ■


p=7인 경우의 예

  • 7의 경우

\[\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\] \[\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1\]




p=23의 경우





cyclic numbers



역사



관련된 항목들



관련논문

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