"피보나치 수열"의 두 판 사이의 차이
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* 위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음. | * 위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음. | ||
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* <math>\gcd(F_m,F_n)=F_{\gcd(m,n)}</math>에 대해서는 [[피보나치 수열의 나눗셈 성질]] 항목 참조 | * <math>\gcd(F_m,F_n)=F_{\gcd(m,n)}</math>에 대해서는 [[피보나치 수열의 나눗셈 성질]] 항목 참조 | ||
* 피보나치 수열을 자연수 n으로 나눈 나머지로 정의된 수열은 주기성을 가진다 | * 피보나치 수열을 자연수 n으로 나눈 나머지로 정의된 수열은 주기성을 가진다 | ||
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==자연과 피보나치 수열== | ==자연과 피보나치 수열== | ||
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* [http://www.boutiqueacademia.com/products/Fibonacci-Earrings.html 피보나치 귀걸이] | * [http://www.boutiqueacademia.com/products/Fibonacci-Earrings.html 피보나치 귀걸이] | ||
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* [[파일:2252978-전체화면 캡처 2009-03-01 오후 123738.jpg]] | * [[파일:2252978-전체화면 캡처 2009-03-01 오후 123738.jpg]] | ||
* [http://www.math.temple.edu/%7Erenault/fibonacci/fib.html http://www.math.temple.edu/~renault/fibonacci/fib.html] | * [http://www.math.temple.edu/%7Erenault/fibonacci/fib.html http://www.math.temple.edu/~renault/fibonacci/fib.html] | ||
| − | + | * [[Phyllotaxis]] | |
| + | * Kotesovec, Vaclav. “Asymptotics of the Euler Transform of Fibonacci Numbers.” arXiv:1508.01796 [math], August 7, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01796. | ||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
2020년 12월 28일 (월) 04:10 기준 최신판
개요
- 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
- 앞에 있는 두 수를 더하여, 다음의 수를 얻는다
- 점화식을 이용한 정의
\[F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}, \\ F_0=1,F_1=1\]
- 상수계수 선형점화식의 예이다
- 루카스 수열의 예이다
- 인접한 두 수열의 비는 황금비로 수렴
\[\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\]
피보나치 수열의 일반항
- 생성함수를 이용하여 얻을 수 있다
- 정리
피보나치 수열의 생성함수는 다음과 같이 주어진다 \[s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k=\frac{1}{1-x-x^2}\label{s}\]
- 증명
점화식을 이용하여 다음을 얻는다 \[\begin{align} s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\ &= 1+ x + x(\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k-1) + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= 1+ x s(x) + x^2 s(x) \end{align}\]
- 따름정리
피보나치수열의 일반항은 다음과 같다 \[ F_n= \frac{\left(\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)\right)^{n+1}-\left(\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)\right)^{n+1}}{\sqrt{5}} \]
\ref{s}의 우변을 부분분수로 분해하여 쓰면 된다.
여러가지 성질들
- \(F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n-1}\)
- 위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음.
\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\varphi-1\] \[\prod_{n=1}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n-1}}{F_n^2})=\varphi\]
- \(\gcd(F_m,F_n)=F_{\gcd(m,n)}\)에 대해서는 피보나치 수열의 나눗셈 성질 항목 참조
- 피보나치 수열을 자연수 n으로 나눈 나머지로 정의된 수열은 주기성을 가진다
- 피보나치 수열과 합동식 항목 참조
황금비와 피보나치 수열
자연과 피보나치 수열
메모
- http://www.math.temple.edu/~renault/fibonacci/fib.html
- Phyllotaxis
- Kotesovec, Vaclav. “Asymptotics of the Euler Transform of Fibonacci Numbers.” arXiv:1508.01796 [math], August 7, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01796.
![[1]](http://www.mathematicianspictures.com/images_275/275_FI_CREDITS_75PCMATHPICS.jpg){kind=link}
관련된 항목들