"대수적 위상수학"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
이 항목의 수학노트 원문주소==
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “<h5>” 문자열을 “==” 문자열로) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “</h5>” 문자열을 “==” 문자열로) |
||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소== |
| 7번째 줄: | 7번째 줄: | ||
| − | ==개요 | + | ==개요== |
* 대수적인 언어를 통해 위상적인 공간을 들여다 보는 법을 배움. | * 대수적인 언어를 통해 위상적인 공간을 들여다 보는 법을 배움. | ||
| 17번째 줄: | 17번째 줄: | ||
| − | ==선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들 | + | ==선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들== |
* 기초적인 일반위상수학<br> | * 기초적인 일반위상수학<br> | ||
| 31번째 줄: | 31번째 줄: | ||
| − | ==다루는 대상 | + | ==다루는 대상== |
* 곡면 | * 곡면 | ||
| 40번째 줄: | 40번째 줄: | ||
| − | ==중요한 개념 및 정리 | + | ==중요한 개념 및 정리== |
* [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2|오일러의 정리]]<br> | * [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2|오일러의 정리]]<br> | ||
| 76번째 줄: | 76번째 줄: | ||
| − | ==곡면의 fundamental group | + | ==곡면의 fundamental group== |
* 종수가 <math>g</math>인 닫힌 곡면의 fundamental group | * 종수가 <math>g</math>인 닫힌 곡면의 fundamental group | ||
| 86번째 줄: | 86번째 줄: | ||
| − | ==유명한 정리 혹은 생각할만한 문제 | + | ==유명한 정리 혹은 생각할만한 문제== |
* 포앵카레-호프 정리 | * 포앵카레-호프 정리 | ||
| 94번째 줄: | 94번째 줄: | ||
| − | ==다른 과목과의 관련성 | + | ==다른 과목과의 관련성== |
* [[search?q=%EC%9D%BC%EB%B0%98%EC%9C%84%EC%83%81%EC%88%98%ED%95%99&parent id=1954084|일반위상수학]] | * [[search?q=%EC%9D%BC%EB%B0%98%EC%9C%84%EC%83%81%EC%88%98%ED%95%99&parent id=1954084|일반위상수학]] | ||
| 117번째 줄: | 117번째 줄: | ||
| − | ==관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들 | + | ==관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들== |
* 대학원 수준의 대수적위상수학 | * 대학원 수준의 대수적위상수학 | ||
| 128번째 줄: | 128번째 줄: | ||
| − | ==표준적인 교과서 | + | ==표준적인 교과서== |
| 134번째 줄: | 134번째 줄: | ||
| − | ==추천도서 및 보조교재 | + | ==추천도서 및 보조교재== |
* [http://www.amazon.com/Algebraic-Topology-William-Fulton/dp/0387943277 Algebraic Topology]<br> | * [http://www.amazon.com/Algebraic-Topology-William-Fulton/dp/0387943277 Algebraic Topology]<br> | ||
| 147번째 줄: | 147번째 줄: | ||
| − | ==리뷰논문, 에세이, 강의노트 | + | ==리뷰논문, 에세이, 강의노트== |
* [http://www.jstor.org/stable/2317755 A Note on the Universal Covering Space of a Surface]<br> | * [http://www.jstor.org/stable/2317755 A Note on the Universal Covering Space of a Surface]<br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 13:14 판
이 항목의 수학노트 원문주소==
개요
- 대수적인 언어를 통해 위상적인 공간을 들여다 보는 법을 배움.
- 곡면의 분류 정리, fundamental group, covering space, 호몰로지 등을 공부함
- 대학원 수준에서는 n차원 다양체를 대상으로 대수적으로 표현되는 위상적 불변량을 찾음.
선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들
- 기초적인 일반위상수학
- product space
- quotient space
- 연결, 컴팩트
- 추상대수학
- 군의 정의
- 유한생성아벨군의 기본정리
다루는 대상
- 곡면
- Simplicial complex
중요한 개념 및 정리
- 오일러의 정리
- V-E+F = 2- 2g
- 곡면의 분류 정리
- 컴팩트 곡면
- 종수와 orientability
- 경계가 있는 곡면
- 종수,orientability, 경계의 개수
- 호모토피
- 공간 사이에 주어진 하나의 연속함수를 '연속적으로 변화'시켜 다른 연속함수를 얻을 수 있을 때, 두 연속함수는 호모토픽하다고 말함.
- 공간에 있는 하나의 루프를 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있다면, 호모토피의 관점에서 루프는 점과 같다고 말할 수 있음.
- 이 '연속적인 변화'를 호모토피라 부름.
[/pages/1954084/attachments/888134 180px-Homotopy_between_two_paths.png]
- fundamental group
- 구면의 경우 모든 루프는 한 점과 호모토픽.
- 도넛의 경우는 구면의 경우와는 달리, 점으로 만들수 없는 루프가 존재.
- 호모토픽한 루프들을 모아서 호모토픽 클래스라고 부름.
- 호모토픽 클래스들 사이에 연산을 주어, 군을 만들수 있음.
- 이 군은 공간에 놓여진 루프들의 호모토피 클래스에 대한 정보를 담고 있음.
- 위상적 공간의 정보를 담고 있는 대수적인 물건.
- 단일연결된 공간(simply connected space)
- 모든 루프가 점과 호모토픽한 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
- 구면은 단일연결되어있음.
- 도넛은 단일연결되어있지 않음.
- 포앵카레의 추측
- covering space
- Hairy ball theorem
- 호몰로지
곡면의 fundamental group
- 종수가 \(g\)인 닫힌 곡면의 fundamental group
\(\langle a_1,b_1, a_2, b_2, \cdots a_g, b_g \mid a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1}a_2 b_2 a_2^{-1} b_2^{-1}\cdots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1}=1 \rangle\,\!\)
유명한 정리 혹은 생각할만한 문제
- 포앵카레-호프 정리
- 브라우어 부동점 정리
- 레프쉐츠 부동점 정리
다른 과목과의 관련성
- 일반위상수학
- 다변수미적분학
- 벡터장
- 선적분
- 어떤 벡터장의 선적분이 경로에 의존하는가 하지 않는가의 문제와 밀접하게 관련
- 포앵카레 보조정리
- 미분기하학
- 가우스-보네 정리
- 복소함수론
- Uniformization theorem 과 단일연결된 상수곡률곡면
- 호모토피와 코쉬정리
- 모노드로미
- 추상대수학
- 군론
- fundamental group
- covering space의 deck transformation group
- 유한생성 아벨군의 기본정리
- 호몰로지를 이해하기 위해 필요
관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들
- 대학원 수준의 대수적위상수학
- 벡터번들
- 호몰로지 대수
- Characteristic class
- 리만곡면론
- Branched covering
표준적인 교과서
추천도서 및 보조교재
- Algebraic Topology
- W. Fulton
- 표준적인 대수적 위상수학 교과서라 할 수는 없으나, 대수적위상수학의 중요한 개념들을 리만곡면론을 비롯한 실전에 적용하는 형태로 배울수 있음.
- Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology
- David S. Richeson
- 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- A Note on the Universal Covering Space of a Surface
- G. W. Knutson
- The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 5 (May, 1971), pp. 505-509
- Covering Spaces of Algebraic Groups
- Andy R. Magid
- The American Mathematical Monthly, Vol. 83, No. 8 (Oct., 1976), pp. 614-621
- A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century
- Peter Hilton
- Mathematics Magazine, Vol. 61, No. 5 (Dec., 1988), pp. 282-291
- product space
- quotient space
- 연결, 컴팩트
- 군의 정의
- 유한생성아벨군의 기본정리
- V-E+F = 2- 2g
- 컴팩트 곡면
- 종수와 orientability
- 경계가 있는 곡면
- 종수,orientability, 경계의 개수
- 공간 사이에 주어진 하나의 연속함수를 '연속적으로 변화'시켜 다른 연속함수를 얻을 수 있을 때, 두 연속함수는 호모토픽하다고 말함.
- 공간에 있는 하나의 루프를 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있다면, 호모토피의 관점에서 루프는 점과 같다고 말할 수 있음.
- 이 '연속적인 변화'를 호모토피라 부름.
- 구면의 경우 모든 루프는 한 점과 호모토픽.
- 도넛의 경우는 구면의 경우와는 달리, 점으로 만들수 없는 루프가 존재.
- 호모토픽한 루프들을 모아서 호모토픽 클래스라고 부름.
- 호모토픽 클래스들 사이에 연산을 주어, 군을 만들수 있음.
- 이 군은 공간에 놓여진 루프들의 호모토피 클래스에 대한 정보를 담고 있음.
- 위상적 공간의 정보를 담고 있는 대수적인 물건.
- 모든 루프가 점과 호모토픽한 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
- 구면은 단일연결되어있음.
- 도넛은 단일연결되어있지 않음.
- 포앵카레의 추측
- 벡터장
- 선적분
- 어떤 벡터장의 선적분이 경로에 의존하는가 하지 않는가의 문제와 밀접하게 관련
- 포앵카레 보조정리
- 가우스-보네 정리
- Uniformization theorem 과 단일연결된 상수곡률곡면
- 호모토피와 코쉬정리
- 모노드로미
- 군론
- fundamental group
- covering space의 deck transformation group
- 유한생성 아벨군의 기본정리
- 호몰로지를 이해하기 위해 필요
- Branched covering
- W. Fulton
- 표준적인 대수적 위상수학 교과서라 할 수는 없으나, 대수적위상수학의 중요한 개념들을 리만곡면론을 비롯한 실전에 적용하는 형태로 배울수 있음.
- David S. Richeson
- 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.
- G. W. Knutson
- The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 5 (May, 1971), pp. 505-509
- Andy R. Magid
- The American Mathematical Monthly, Vol. 83, No. 8 (Oct., 1976), pp. 614-621
- Peter Hilton
- Mathematics Magazine, Vol. 61, No. 5 (Dec., 1988), pp. 282-291