"드 무아브르의 정리, 복소수와 정다각형"의 두 판 사이의 차이

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(정리) 드 무아브르
  
 
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* <math>z^n=1</math> 를 만족시키는 복소수 방정식을 풀면, n개의 해는 복소평면에서 정n각형의 꼭지점이 된다.<br> 방정식을 풀기 위해, <math>z=\cos \theta + i \sin \theta</math> 로 두고 드무아브르 정리를 적용하자.<br><math>(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta=1</math><br><math>\theta=\frac{2k\pi}{n}, k=0,1,\cdots,n-1</math><br>  <br>
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* <math>z^3=1</math> 의 해는, <math>1,\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}</math> 세 개가 있다. 이를 복소평면에 점으로 나타내면, 다음과 같이 정삼각형의 꼭지점을 이룬다.<br>[/pages/3002568/attachments/1344206 img602.gif]<br>
 
* <math>z^3=1</math> 의 해는, <math>1,\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}</math> 세 개가 있다. 이를 복소평면에 점으로 나타내면, 다음과 같이 정삼각형의 꼭지점을 이룬다.<br>[/pages/3002568/attachments/1344206 img602.gif]<br>
  
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B3%B5%EC%86%8C%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/복소수]
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B3%B5%EC%86%8C%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/복소수]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%27s_formula http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre's_formula]
 
* http://viswiki.com/en/
 
* http://viswiki.com/en/
 
* http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
 
* http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=

2009년 5월 8일 (금) 06:57 판

간단한 소개

(정리) 드 무아브르

\((\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta\)

여기서 \(\theta\) 는 임의의 실수, \(n\) 은 임의의 정수

 

 

증명
  •  

 

 

 

정다각형과의 관계
  • \(z^n=1\) 를 만족시키는 복소수 방정식을 풀면, n개의 해는 복소평면에서 정n각형의 꼭지점이 된다.
    방정식을 풀기 위해, \(z=\cos \theta + i \sin \theta\) 로 두고 드무아브르 정리를 적용하자.
    \((\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta=1\)
    \(\theta=\frac{2k\pi}{n}, k=0,1,\cdots,n-1\)
     
  • \(z^3=1\) 의 해는, \(1,\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\) 세 개가 있다. 이를 복소평면에 점으로 나타내면, 다음과 같이 정삼각형의 꼭지점을 이룬다.
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