"리대수 sl(2,C)의 유한차원 표현론"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:53 기준 최신판

개요

복소수 체 위에 정의된 리대수 \(\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\)의 유한차원 표현론
각 \(m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\) 에 대하여, \(m+1\) 차원 기약표현 \(V(m)\)가 존재하며, 모든 유한차원 기약표현이 이러한 형태로 얻어진다

리대수 \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\)

3차원 리대수의 기저

\[E=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\] \[F=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\] \[H=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\]

\(L=\langle E,F,H \rangle\)
교환자

\[[E,F]=H\]\[[H,E]=2E\]\[[H,F]=-2F\]

카르탄 행렬 \(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}\)
루트 시스템 \(\Phi=\{\alpha,-\alpha\}\)
universal enveloping algebra의 PBW 기저 \(\{F^kH^lE^m|k,l,m\geq 0\}\)

highest weight representation

\(V\) :유한차원인 기약표현
\(V=\oplus_{\lambda\in\mathbb{C}}V_{\lambda}\), \(V_{\lambda}=\{v\in V|Hv=\lambda v\}\)
\(\lambda\in \mathbb{C}\) 에 대하여, 다음의 조건을 만족하는 highest weight vector \(v_0\) 를 정의

\[Ev_0=0\] \[Hv_0=\lambda v_0\]

\(v_j:=\frac{F^j}{j!}v_0\) 로 정의하면, 다음 관계가 만족된다

\[H v_j=(\lambda -2j)v_j\] \[F v_j=(j+1)v_{j+1}\] \[E v_j=(\lambda -j+1)v_{j-1}\]

\(\{v_j|j\geq 0\}\) 가 생성하는 벡터공간이 유한차원인 \(\mathfrak{g}\)-모듈이 되려면, \(\lambda\in\mathbb{Z}, \lambda\geq 0\) 이 만족되어야 한다

유한차원 기약표현의 분류

각 \(m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\) 에 대하여, \(m+1\) 차원 기약표현 \(V(m)\)가 존재한다
모든 유한차원 기약표현 \(V\)에 대하여 적당한 \(m\geq 0\)이 존재하여 \(V\simeq V(m)\)이 성립
\(V(m)\)으로 생성되는 환의 구조에 대해서는 클렙시-고단 법칙 (Clebsch-Gordan rule) 항목 참조

지표 (character)

weight과 바일 벡터

\[\omega=\frac{1}{2}\alpha, \rho=\omega\]

지표는 다음과 같다

\[\operatorname{ch}V(k)=\frac{e^{(k+1)\omega}-e^{-(k+1)\omega}}{e^{\omega}-e^{-\omega}}=e^{k\omega}+e^{(k-2)\omega}+\cdots+e^{-k\omega}\]

바일 지표 공식 (Weyl character formula)
고유치가 \(e^{i\theta}, e^{-i\theta}\)인 \(SU(2)\)의 원소에서 지표의 값은 제2종 체비셰프 다항식으로 표현할 수 있다

\[\frac{e^{i(k+1)\theta}-e^{-i(k+1)\theta}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}= \frac{\sin (k+1)\theta}{\sin \theta}=U_k(\cos\theta)\]

\(\operatorname{Sym}^j V(k)\)와 \(\Lambda^{j}V(k)\)의 지표

[GW1998]

\(\operatorname{Sym}^j V(k)\)

q-이항정리 (하이네 공식, Q-series 의 공식 모음)

\[\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{j=0}^{\infty}z^j\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}\]

정리

\(\mathfrak{sl}_2\)의 \((k+1)\)-차원 기약표현 \(V(k)\)에 대하여, 표현 \(\operatorname{Sym}^j V(k)\)의 지표는 다음과 같다 \[\chi(\operatorname{Sym}^j V(k))=\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}\] 생성함수는 다음과 같다 \[ \sum_{j=0}^{\infty}\chi(\operatorname{Sym}^j V(k))z^j=\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1} \] 여기서 \([n]_{q}=\frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}}\)

증명

\(k\)를 고정하자. 표현 \(\operatorname{Sym}^j V(k)\)의 지표를 \(F_j(q)\)라 하자 \[F_j(q)=\sum_{m_0,\cdots,m_k}q^{(k-0)m_0+(k-2)m_1+\cdots+(2-k)m_{k-1}+(0-k)m_k}\] 이 때, 합은 \(m_0+m_1+\cdots+m_k=j\)를 만족하는 \((m_0,\cdots, m_k)\)에 대한 것이다.

다음 생성함수를 생각하자 \[F(z,q)=\sum_{j=0}^{\infty}F_j(q)z^j\] 다음이 성립한다 \[F(z,q)=\sum_{j=0}^{\infty}F_j(q)z^j=\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}\] 이를 증명하기 위해, 다음을 생각하자 \[(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{m=0}^{\infty}z^mq^{m(k-2j)}\] 따라서 \[\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{m_0,\cdots,m_k}z^{m_0+\cdots+m_k}q^{(k-0)m_0+(k-2)m_1+\cdots+(2-k)m_{k-1}+(0-k)m_k}\] 다음을 확인할 수 있다 \[\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{j=0}^{\infty}z^j\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}\]■

\(\Lambda^{j}V(k)\)

q-이항정리 (가우스 공식, Q-series 의 공식 모음)

\[\prod_{j=0}^{k}(1+zq^{k-2j})=\sum_{j=0}^{k+1}\begin{bmatrix} k+1 \\ j\end{bmatrix}_{q}q^{j(j-1)/2}z^j\]

정리

표현 \(\Lambda^{j}V(k)\)의 지표는 다음과 같다 \[\begin{bmatrix} k+1 \\ j\end{bmatrix}_{q}q^{j(j-1)/2}\]

증명

위의 증명과 유사하다. ■

파울리 행렬

파울리 행렬의 선형결합으로 리대수 \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\) 의 원소를 표현할 수 있으며, 특별히 생성원 \(E,F\)는 raising and lowering 연산자로 불리며 다음과 같이 표현된다 \[H=\sigma_{z}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\] \[E=\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\] \[F=\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\] \[[\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}\]

역사

수학사 연표

메모

\(\mathbb{F}\) : algebraically closed field with characteristic 0 에 대해서도 같은 이야기를 전개할 수 있다
http://arxiv.org/abs/1504.07814

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTllDZlBkcXRyUkk/edit

사전 형태의 자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_reciprocity

메타데이터

위키데이터

ID : Q5741914

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'hermite'}, {'LEMMA': 'reciprocity'}]

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 * 복소수 체 위에 정의된 리대수 <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})</math>의 유한차원 표현론
-* 각 <math>m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math> 에 대하여, $m+1$ 차원 기약표현 <math>V(m)</math>가 존재하며, 모든 유한차원 기약표현이 이러한 형태로 얻어진다
+* 각 <math>m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math> 에 대하여, <math>m+1</math> 차원 기약표현 <math>V(m)</math>가 존재하며, 모든 유한차원 기약표현이 이러한 형태로 얻어진다
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 :<math>F v_j=(j+1)v_{j+1}</math>
 :<math>E v_j=(\lambda -j+1)v_{j-1}</math>
-* <math>\{v_j|j\geq 0\}</math> 가 생성하는 벡터공간이 유한차원인 $\mathfrak{g}$-모듈이 되려면, <math>\lambda\in\mathbb{Z}, \lambda\geq 0</math> 이 만족되어야 한다
+* <math>\{v_j|j\geq 0\}</math> 가 생성하는 벡터공간이 유한차원인 <math>\mathfrak{g}</math>-모듈이 되려면, <math>\lambda\in\mathbb{Z}, \lambda\geq 0</math> 이 만족되어야 한다
 ==유한차원 기약표현의 분류==
-* 각 <math>m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math> 에 대하여, $m+1$ 차원 기약표현 <math>V(m)</math>가 존재한다
+* 각 <math>m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math> 에 대하여, <math>m+1</math> 차원 기약표현 <math>V(m)</math>가 존재한다
 * 모든 유한차원 기약표현 <math>V</math>에 대하여 적당한 <math>m\geq 0</math>이 존재하여 <math>V\simeq V(m)</math>이 성립
-* $V(m)$으로 생성되는 환의 구조에 대해서는 [[클렙시-고단 법칙 (Clebsch-Gordan rule)]] 항목 참조
+* <math>V(m)</math>으로 생성되는 환의 구조에 대해서는 [[클렙시-고단 법칙 (Clebsch-Gordan rule)]] 항목 참조
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 :<math>\operatorname{ch}V(k)=\frac{e^{(k+1)\omega}-e^{-(k+1)\omega}}{e^{\omega}-e^{-\omega}}=e^{k\omega}+e^{(k-2)\omega}+\cdots+e^{-k\omega}</math>
 * [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]]
-* 고유치가 $e^{i\theta}, e^{-i\theta}$인 $SU(2)$의 원소에서 지표의 값은 제2종 [[체비셰프 다항식]]으로 표현할 수 있다
+* 고유치가 <math>e^{i\theta}, e^{-i\theta}</math>인 <math>SU(2)</math>의 원소에서 지표의 값은 제2종 [[체비셰프 다항식]]으로 표현할 수 있다
 :<math>\frac{e^{i(k+1)\theta}-e^{-i(k+1)\theta}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}= \frac{\sin (k+1)\theta}{\sin \theta}=U_k(\cos\theta)</math>
-==$(V(k))^{\otimes j}$와 $\Lambda^{j}V(k)$의 지표==
+==<math>\operatorname{Sym}^j V(k)</math>와 <math>\Lambda^{j}V(k)</math>의 지표==
 * '''[GW1998]'''
+===<math>\operatorname{Sym}^j V(k)</math>===
-===$(V(k))^{\otimes j}$===
 * [[q-이항정리]] (하이네 공식, [[Q-series 의 공식 모음]])
-:<math>\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{j=0}^{\infty}z^j\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}</math><br>
+:<math>\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{j=0}^{\infty}z^j\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}</math>
-* 표현 $(V(k))^{\otimes j}$의 지표는 다음과 같다
+;정리
-:<math>\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}</math>
+<math>\mathfrak{sl}_2</math>의 <math>(k+1)</math>-차원 기약표현 <math>V(k)</math>에 대하여, 표현 <math>\operatorname{Sym}^j V(k)</math>의 지표는 다음과 같다
+:<math>\chi(\operatorname{Sym}^j V(k))=\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}</math>
+생성함수는 다음과 같다
+:<math>
+\sum_{j=0}^{\infty}\chi(\operatorname{Sym}^j V(k))z^j=\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}
+</math>
 여기서 <math>[n]_{q}=\frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}}</math>
 ;증명
-k를 고정하자.
+<math>k</math>를 고정하자.
-표현 $(V(k))^{\otimes j}$의 지표를 <math>F_j(q)</math>라 하자
+표현 <math>\operatorname{Sym}^j V(k)</math>의 지표를 <math>F_j(q)</math>라 하자
 :<math>F_j(q)=\sum_{m_0,\cdots,m_k}q^{(k-0)m_0+(k-2)m_1+\cdots+(2-k)m_{k-1}+(0-k)m_k}</math>
-이 때, 합은 <math>m_0+m_1+\cdots+m_k=j</math>를 만족하는 $(m_0,\cdots, m_k)$에 대한 것이다.
+이 때, 합은 <math>m_0+m_1+\cdots+m_k=j</math>를 만족하는 <math>(m_0,\cdots, m_k)</math>에 대한 것이다.
 다음 생성함수를 생각하자
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-===$\Lambda^{j}V(k)$===
+===<math>\Lambda^{j}V(k)</math>===
 * [[q-이항정리]] (가우스 공식, [[Q-series 의 공식 모음]])
 :<math>\prod_{j=0}^{k}(1+zq^{k-2j})=\sum_{j=0}^{k+1}\begin{bmatrix} k+1 \\ j\end{bmatrix}_{q}q^{j(j-1)/2}z^j</math>
-* 표현 $\Lambda^{j}V(k)$의 지표는 다음과 같다
+;정리
+표현 <math>\Lambda^{j}V(k)</math>의 지표는 다음과 같다
 :<math>\begin{bmatrix} k+1 \\ j\end{bmatrix}_{q}q^{j(j-1)/2}</math>
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 ;증명
 위의 증명과 유사하다. ■
 ==파울리 행렬==
-* [[파울리 행렬]]의 선형결합으로 리대수 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 의 원소를 표현할 수 있으며, 특별히 생성원 $E,F$는 raising and lowering 연산자로 불리며 다음과 같이 표현된다 $$H=\sigma_{z}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$$ $$E=\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}$$ $$F=\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}$$ $$[\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}$$
+* [[파울리 행렬]]의 선형결합으로 리대수 <math>\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})</math> 의 원소를 표현할 수 있으며, 특별히 생성원 <math>E,F</math>는 raising and lowering 연산자로 불리며 다음과 같이 표현된다 :<math>H=\sigma_{z}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}</math> :<math>E=\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}</math> :<math>F=\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}</math> :<math>[\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}</math>
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 ==메모==
 * <math>\mathbb{F}</math> : algebraically closed field with characteristic 0 에 대해서도 같은 이야기를 전개할 수 있다
+* http://arxiv.org/abs/1504.07814
 ==관련된 항목들==
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-==books==
+==관련도서==
 * '''[GW1998]'''Goodman and Wallach,Representations and invariants of the classical groups
 ==관련논문==
 * Bacry, Henri. 1987. “SL(2,C), SU(2), and Chebyshev Polynomials.” Journal of Mathematical Physics 28 (10) (October 1): 2259–2267. doi:10.1063/1.527759.
 [[분류:리군과 리대수]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q5741914 Q5741914]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'hermite'}, {'LEMMA': 'reciprocity'}]