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* 리만제타함수의 함수방정식은 다음과 같음<br><math>\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)</math><br> | * 리만제타함수의 함수방정식은 다음과 같음<br><math>\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)</math><br> | ||
* 자명한 해는 <math>s=-2,-4,-6\cdots</math><br> | * 자명한 해는 <math>s=-2,-4,-6\cdots</math><br> | ||
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* "모든 실수 t에 대하여 <math>\zeta(1+it)\neq 0 </math> 이다" 는 소수정리와 동치명제이다<br> | * "모든 실수 t에 대하여 <math>\zeta(1+it)\neq 0 </math> 이다" 는 소수정리와 동치명제이다<br> | ||
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">응용</h5> | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">응용</h5> | ||
| − | Rubinstein-Sarnak 1994 | + | * Rubinstein-Sarnak 1994<br> |
| − | + | ** how often \pi(x)>Li(x)<br> | |
| − | how often \pi(x)>Li(x) | + | * even(x) : number of natural numbers , even number of prime factors<br> |
| − | + | * Odd(x) : odd number of prime factors<br> | |
| − | + | * 골드바흐 추측<br> | |
| − | + | * 1923 하디-리틀우드<br> | |
| − | + | * 1937비노그라도프<br> | |
| − | + | * 1997 Deshouillers-Effinger-te Riele-Zinoviev<br> | |
| − | even(x) : number of natural numbers , even number of prime factors | + | * [[순환소수에 대한 아틴의 추측]]<br><math>C_{\mathrm{Artin}}=\prod_{q\ \mathrm{prime}} \left(1-\frac{1}{q(q-1)}\right) = 0.3739558136\ldots.</math><br> |
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| − | [[순환소수에 대한 아틴의 추측]] | ||
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| − | <math>C_{\mathrm{Artin}}=\prod_{q\ \mathrm{prime}} \left(1-\frac{1}{q(q-1)}\right) = 0.3739558136\ldots.</math> | ||
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| − | 1967 Hooley | ||
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| − | 1973 Weinberger | + | * 1973 Weinberger<br> |
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* http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/random.htm | * http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/random.htm | ||
* Random Matrices and the Riemann zeta function | * Random Matrices and the Riemann zeta function | ||
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2012년 5월 19일 (토) 02:23 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 리만제타함수의 함수방정식은 다음과 같음
\(\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\) - 자명한 해는 \(s=-2,-4,-6\cdots\)
- 리만제타함수의 자명하지 않은 해(비자명해)는 그 실수부가 \(1/2\) 이라는 추측
소수정리
- 리만 제타 함수와 소수 계량 함수의 관계
- "모든 실수 t에 대하여 \(\zeta(1+it)\neq 0 \) 이다" 는 소수정리와 동치명제이다
- 소수정리
비자명해의 수론적 특성
- 추측
- The positive imaginary parts of nontrivial zeros of \(\zeta(s)\) are linearly independent over
- The positive imaginary parts of nontrivial zeros of \(\zeta(s)\) are linearly independent over
일반화된 리만가설
응용
- Rubinstein-Sarnak 1994
- how often \pi(x)>Li(x)
- how often \pi(x)>Li(x)
- even(x) : number of natural numbers , even number of prime factors
- Odd(x) : odd number of prime factors
- 골드바흐 추측
- 1923 하디-리틀우드
- 1937비노그라도프
- 1997 Deshouillers-Effinger-te Riele-Zinoviev
- 순환소수에 대한 아틴의 추측
\(C_{\mathrm{Artin}}=\prod_{q\ \mathrm{prime}} \left(1-\frac{1}{q(q-1)}\right) = 0.3739558136\ldots.\) - 1967 Hooley
- 1973 Weinberger
- 이차수체 유클리드 도메인의 분류
Spectal theory and RH
- The Selberg trace formula and the Riemann zeta function
- Dennis A. Hejhal
Hilbert-Polya
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert-P%C3%B3lya_conjecture
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_Unitary_Ensemble
- Introduction to the Random Matrix Theory: Gaussian Unitary Ensemble and Beyond Authors: Yan V. Fyodorov
- Montgomery, Hugh L. (1973), "The pair correlation of zeros of the zeta function", Analytic number theory, Proc. Sympos. Pure Math., XXIV, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 181–193,
Noncommutatative geometry
- Noncommutative Geometry, Quantum Fields, and Motives Alain Connes, Matilde Marcolli
- Noncommutative Geometry and Number Theory: Where Arithmetic Meets Geometry and Physics (Aspects of Mathematics) Caterina Consani, Matilde Marcolli (Eds.)
Random matrices
- http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00119410/en/
- http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/random.htm
- Random Matrices and the Riemann zeta function
Computation of non-trivial zeros
R. P. Brent, “On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip”, Mathematics of Computation
33 (1979), 1361–1372.
The Riemann-Siegel Expansion for the Zeta Function: High Orders and Remainders, M. V. Berry
http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/fast.zeta.eval.pdf
http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pd/rpb047.pdf
재미있는 사실
- 영화속 오류 russell crowe riemann zeta
- http://mathoverflow.net/questions/13647/why-does-the-riemann-zeta-function-have-non-trivial-zeros
역사
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/리만가설
- http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_hypothesis
- http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann-Siegel_formula
- http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann–Siegel_theta_function
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=Riemann+zeta
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
관련논문
- Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse Bernhard Riemann, November 1859