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==개요==
  
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* [[24차원 짝수 자기쌍대 격자]]의 하나로 root를 가지지 않는 유일한 격자
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* 24차원의 [[Kissing number and sphere packings]] 에서 중요한 역할
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==구성==
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* <math>\tilde{G}\subseteq \mathbb{F}_{2}^{24}</math> 를 [24,12,8] [[골레이 코드 (Golay code)]]  라 하자.
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* quotient map <math>\rho : \mathbb{Z}^{24}\to \mathbb{F}_{2}^{24}</math> 으로부터 even unimodular lattice <math>\Gamma</math>를 얻는다.
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:<math>\Gamma:=\frac{1}{\sqrt{2}}\rho^{-1}(\tilde{G})</math>
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* homomorphism <math>\alpha : \Gamma \to \mathbb{F}_{2}</math> 를 다음과 같이 정의하자
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:<math>\alpha(x)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{24} x_i \pmod 2</math>
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* <math>A=\alpha^{-1}(0)</math> , <math>N=\alpha^{-1}(1)</math>  로 두면 <math>\Gamma=A\cup N</math>이다.
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* 리치격자 <math>\Lambda_{24}</math>는 다음과 같이 얻어진다
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:<math>\Lambda_{24}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(A\cup (\frac{\mathbf{1}}{2}+N)\right)</math>
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==norm 4 벡터==
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* 196560개의 norm 4벡터를 세 가지 타입으로 나눌 수 있다.
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* <math>(\pm1)^8 0^{16}</math>  97152개
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* <math>(\pm2)^2 0^{22}</math> 1104개
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* <math>(\pm\frac{1}{2})^{23} (\pm \frac{3}{2})^{1}</math> 98304개
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==세타함수==
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* 세타함수는 다음과 같다
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\begin{align}
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\theta_{\Lambda_{24}}(\tau)&=E_{4}^3(\tau)-720\Delta(\tau) \\
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</math>
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여기서 <math>q=e^{2\pi i \tau}</math>, <math>E_{4}(\tau)</math>는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]], <math>\Delta(\tau)</math>는 [[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)|판별식 (discriminant) 함수]]
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==메모==
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* <math>\Lambda_{24}\oplus U</math> : unimodular hyperbolic lattice
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**  automorphism group - Conway's computation
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* [http://www.maths.qmul.ac.uk/%7Eraw/talks_files/Leech.pdf http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/talks_files/Leech.pdf]
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* [http://www.math.lsa.umich.edu/%7Erlg/mathclubtalklattices21oct10d.pdf http://www.math.lsa.umich.edu/~rlg/mathclubtalklattices21oct10d.pdf]
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==관련된 항목들==
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* [[Kissing number and sphere packings]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=leech+lattice
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* http://oeis.org/A008408
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==사전 형태의 자료==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice
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* http://en.wikipedia.org/wiki/II25,1
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==관련도서==
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* Ebeling, Wolfgang. Lattices and Codes: A Course Partially Based on Lectures by Friedrich Hirzebruch. 3rd ed. 2013 edition. Wiesbaden: Springer Spektrum, 2012.
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==관련논문==
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* Hoehn, Gerald, and Geoffrey Mason. ‘The 290 Fixed-Point Sublattices of the Leech Lattice’. arXiv:1505.06420 [hep-Th], 24 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.06420.
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* Nagaoka, Shoyu, and Sho Takemori. “Notes on Theta Series for Niemeier Lattices.” arXiv:1504.06715 [math], April 25, 2015. http://arxiv.org/abs/1504.06715.
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* Nagaoka, Shoyu, and Sho Takemori. ‘On Theta Series Attached to the Leech Lattice’. arXiv:1412.7606 [math], 24 December 2014. http://arxiv.org/abs/1412.7606.
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[[분류:리군과 리대수]]
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[[분류:정수론]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2510203 Q2510203]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'leech'}, {'LEMMA': 'lattice'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:41 기준 최신판

개요



구성

  • \(\tilde{G}\subseteq \mathbb{F}_{2}^{24}\) 를 [24,12,8] 골레이 코드 (Golay code) 라 하자.
  • quotient map \(\rho : \mathbb{Z}^{24}\to \mathbb{F}_{2}^{24}\) 으로부터 even unimodular lattice \(\Gamma\)를 얻는다.

\[\Gamma:=\frac{1}{\sqrt{2}}\rho^{-1}(\tilde{G})\]

  • homomorphism \(\alpha : \Gamma \to \mathbb{F}_{2}\) 를 다음과 같이 정의하자

\[\alpha(x)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{24} x_i \pmod 2\]

  • \(A=\alpha^{-1}(0)\) , \(N=\alpha^{-1}(1)\) 로 두면 \(\Gamma=A\cup N\)이다.
  • 리치격자 \(\Lambda_{24}\)는 다음과 같이 얻어진다

\[\Lambda_{24}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(A\cup (\frac{\mathbf{1}}{2}+N)\right)\]


norm 4 벡터

  • 196560개의 norm 4벡터를 세 가지 타입으로 나눌 수 있다.
  • \((\pm1)^8 0^{16}\) 97152개
  • \((\pm2)^2 0^{22}\) 1104개
  • \((\pm\frac{1}{2})^{23} (\pm \frac{3}{2})^{1}\) 98304개



세타함수

  • 세타함수는 다음과 같다

\[ \begin{align} \theta_{\Lambda_{24}}(\tau)&=E_{4}^3(\tau)-720\Delta(\tau) \\ &=1+196560 q^2+16773120 q^3+398034000 q^4+4629381120 q^5+\cdots \end{align} \] 여기서 \(q=e^{2\pi i \tau}\), \(E_{4}(\tau)\)는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), \(\Delta(\tau)\)는 판별식 (discriminant) 함수



메모


관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


관련도서

  • Ebeling, Wolfgang. Lattices and Codes: A Course Partially Based on Lectures by Friedrich Hirzebruch. 3rd ed. 2013 edition. Wiesbaden: Springer Spektrum, 2012.

관련논문

  • Hoehn, Gerald, and Geoffrey Mason. ‘The 290 Fixed-Point Sublattices of the Leech Lattice’. arXiv:1505.06420 [hep-Th], 24 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.06420.
  • Nagaoka, Shoyu, and Sho Takemori. “Notes on Theta Series for Niemeier Lattices.” arXiv:1504.06715 [math], April 25, 2015. http://arxiv.org/abs/1504.06715.
  • Nagaoka, Shoyu, and Sho Takemori. ‘On Theta Series Attached to the Leech Lattice’. arXiv:1412.7606 [math], 24 December 2014. http://arxiv.org/abs/1412.7606.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'leech'}, {'LEMMA': 'lattice'}]
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