"맥스웰 방정식"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 05:42 기준 최신판

개요

전자기현상에 대한 실험으로부터 도출된 전자기장의 성질에 대한 수학적 표현
전자기장에 대한 운동방정식이다
게이지 이론으로 일반화

맥스웰 방정식

맥스웰 방정식의 벡터 해석학적 표현 (미분)

전기장에 대한 가우스의 법칙\[\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\]
자기장에 대한 가우스의 법칙\[\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\]
패러데이의 법칙

\[\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\]

앙페르 법칙

\[\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \]

단위는 MKS system of units

맥스웰 방정식의 벡터 해석학적 표현 (적분)

전기장에 대한 가우스의 법칙

\[\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S} = \frac {Q} {\varepsilon_0}\]

자기장에 대한 가우스의 법칙

\[\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} = 0\]

패러데이의 법칙

\[\int_{C} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{r} =-\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} \]

앙페르 법칙

\[\int_{C} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{r} =\mu_0(I+\varepsilon_{0}\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S})\]

단위는 MKS system of units

기호

메트릭 η =g_{\mu\nu}= diag(+1, −1, −1, −1)
벡터 포텐셜 \(\mathbf{A}(x,y,z,t)=(A_{x},A_{y},A_{z})\)
스칼라 포텐셜 \(\phi(x,y,z,t)\)
전기장 \(\mathbf{E}(x,y,z,t)=(E_x,E_y,E_z)\)
자기장 \(\mathbf{B}(x,y,z,t)=(B_x,B_y,B_z)\)
전하 밀도 (스칼라) \(\rho(x,y,z,t)\)
전류 밀도 \(\mathbf{J}(x,y,z,t)=(J_x,J_y,J_z)\)
\(\mu_0\) vacuum permeability
\(\varepsilon_0\) vacuum permittivity
\(c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}\)
포벡터\[x^{\alpha}= \left(ct,x,y,z\right) \]\[x_{\alpha}= \left(ct,-x,-y,-z\right) \]\[\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}= \partial_\alpha= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right) \]\[\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}= \partial^\alpha= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\nabla\right) \]\[ j^{\alpha}=(c\rho, J_x,J_y,J_z)\]

파동 방정식의 유도

미분연산자 사이에는 다음과 같은 항등식이 성립 (미분연산자, 다변수미적분학 항목 참조)\[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}\]\[ \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})\]
전기장에 대한 가우스의 법칙과 패러데이의 법칙으로부터 다음을 얻는다

\[\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}, \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\]\[ \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\nabla \times \mathbf{B})} {\partial t}\]

앙페르-패러데이 법칙으로부터 다음을 얻는다

\[\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \] \[ \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\mu_0\mathbf{J} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ )} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \mu_0\frac{\partial \mathbf{J} }{\partial t} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\]

\(\rho=0, \mathbf{J}=0 \)인 곳에서 전기장은 파동방정식을 만족시키게 된다\[ \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\]

연속 방정식

앙페르-패러데이 법칙과 가우스 법칙이 사용된다.
앙페르-패러데이 법칙에서 시작하자

\[\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \] 에 divergence 연산자를 적용하여, \[\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \mu_0 \nabla \cdot \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t}\] \[ \nabla \cdot \mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t} = 0\]

가우스 법칙 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\) 을 적용하면, \[ \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\] 을 얻는다.

마지막에 얻어진 방정식을 연속 방정식 이라 부르며 국소적인 전하의 보존을 의미한다

역사

1820 앙페르
맥스웰
올리버 헤비사이트
하인리히 헤르츠
수학사 연표

메모

http://www.johndcook.com/blog/2012/02/12/why-magnetic-field-b/

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

ID : Q219153

Spacy 패턴 목록

[{'LEMMA': 'Maxwell'}]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
-<h5>이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+==개요==
+* 전자기현상에 대한 실험으로부터 도출된 전자기장의 성질에 대한 수학적 표현
+* 전자기장에 대한 운동방정식이다
+* [[게이지 이론]]으로 일반화
-* [[맥스웰 방정식|맥스웰방정식]]
+==맥스웰 방정식==
+===맥스웰 방정식의 벡터 해석학적 표현 (미분)===
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
+*  전기장에 대한 가우스의 법칙:<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math>
+*  자기장에 대한 가우스의 법칙:<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>
-*  전기장에 대한 가우스의 법칙<br><math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math><br>
-*  자기장에 대한 가우스의 법칙<br><math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math><br>
 * 패러데이의 법칙
+:<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>
+* 앙페르 법칙
+:<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math>
+* 단위는 MKS system of units
-<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>
-* 앙페르-패러데이 법칙
+===맥스웰 방정식의 벡터 해석학적 표현 (적분)===
-<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math>
+*  전기장에 대한 가우스의 법칙
+:<math>\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S} = \frac {Q} {\varepsilon_0}</math>
+*  자기장에 대한 가우스의 법칙
+:<math>\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} = 0</math>
+* 패러데이의 법칙
+:<math>\int_{C} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{r} =-\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} </math>
+*  앙페르 법칙
+:<math>\int_{C} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{r} =\mu_0(I+\varepsilon_{0}\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S})</math>
+* 단위는 MKS system of units
+==기호==
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">파동방정식의 유도</h5>
+* 메트릭  η =g_{\mu\nu}= diag(+1, −1, −1, −1)
+* 벡터 포텐셜 <math>\mathbf{A}(x,y,z,t)=(A_{x},A_{y},A_{z})</math>
+* 스칼라 포텐셜 <math>\phi(x,y,z,t)</math>
+* 전기장 <math>\mathbf{E}(x,y,z,t)=(E_x,E_y,E_z)</math>
+* 자기장 <math>\mathbf{B}(x,y,z,t)=(B_x,B_y,B_z)</math>
+* 전하 밀도 (스칼라) <math>\rho(x,y,z,t)</math>
+* 전류 밀도 <math>\mathbf{J}(x,y,z,t)=(J_x,J_y,J_z)</math>
+* <math>\mu_0</math> vacuum permeability
+* <math>\varepsilon_0</math> vacuum permittivity
+* <math>c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}</math>
+*  포벡터:<math>x^{\alpha}= \left(ct,x,y,z\right) </math>:<math>x_{\alpha}= \left(ct,-x,-y,-z\right) </math>:<math>\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}= \partial_\alpha= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right) </math>:<math>\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}= \partial^\alpha= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\nabla\right) </math>:<math> j^{\alpha}=(c\rho, J_x,J_y,J_z)</math>
-*  미분연산자 사이에는 다음과 같은 항등식이 성립 ([[다변수미적분학]] 항목 참조)<br><math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}</math><br><math> \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math><br>
-*  전기장에 대한 가우스의 법칙과 패러데이의 법칙으로부터 다음을 얻는다<br><math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math>, <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math><br><math> \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\nabla \times \mathbf{B})} {\partial t}</math><br>
-* 앙페르-패러데이 법칙으로부터 다음을 얻는다
-<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math>
-<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\mu_0\mathbf{J} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ )} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \mu_0\frac{\partial \mathbf{J} }{\partial t} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}</math>
+==파동 방정식의 유도==
-* <math>\rho=0, \mathbf{J}=0 </math>인 곳에서 전기장은 파동방정식을 만족시키게 된다<br><math> \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}</math><br>
+*  미분연산자 사이에는 다음과 같은 항등식이 성립 ([[미분연산자]], [[다변수미적분학|다변수미적분학]] 항목 참조):<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}</math>:<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math>
+*  전기장에 대한 가우스의 법칙과 패러데이의 법칙으로부터 다음을 얻는다
+:<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}, \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>:<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\nabla \times \mathbf{B})} {\partial t}</math>
+* 앙페르-패러데이 법칙으로부터 다음을 얻는다
+:<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math>
+:<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\mu_0\mathbf{J} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ )} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \mu_0\frac{\partial \mathbf{J} }{\partial t} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}</math>
+* <math>\rho=0, \mathbf{J}=0 </math>인 곳에서 전기장은 파동방정식을 만족시키게 된다:<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}</math>
-<h5>재미있는 사실</h5>
+==연속 방정식==
+* 앙페르-패러데이 법칙과 가우스 법칙이 사용된다.
+* 앙페르-패러데이 법칙에서 시작하자
+:<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math> 에 divergence 연산자를 적용하여,
+:<math>\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \mu_0 \nabla \cdot \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t}</math>
+:<math> \nabla \cdot \mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t} = 0</math>
-<h5>역사</h5>
+가우스 법칙 <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math> 을 적용하면,
+:<math> \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0</math> 을 얻는다.
+*  마지막에 얻어진 방정식을 [[연속 방정식]] 이라 부르며 국소적인 전하의 보존을 의미한다
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+==역사==
+* 1820 앙페르
+* 맥스웰
+* 올리버 헤비사이트
+* 하인리히 헤르츠
+* [[수학사 연표]]
-<h5>관련된 다른 주제들</h5>
-* [[다변수미적분학]]
-* [[편미분방정식]]
-* [[파동 방정식|파동방정식]]
+==메모==
+* http://www.johndcook.com/blog/2012/02/12/why-magnetic-field-b/
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
-* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
+==관련된 항목들==
+* [[미분형식과 맥스웰 방정식]]
-<h5>사전 형태의 자료</h5>
+* [[전자기 텐서와 맥스웰 방정식]]
+* [[전자기 포텐셜과 맥스웰 방정식]]
-* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A7%A5%EC%8A%A4%EC%9B%B0_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D http://ko.wikipedia.org/wiki/맥스웰_방정식]
+* [[맥스웰 방정식의 평면파 특수해]]
-* http://en.wikipedia.org/wiki/
+* [[다변수미적분학]]
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
+* [[미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학]]
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
+* [[편미분방정식]]
+* [[파동 방정식]]
+* [[연속 방정식]]
-<h5>관련논문</h5>
-* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>
-*  도서내검색<br>
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
-** http://books.google.com/books?q=
-** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
-*  도서검색<br>
-** http://books.google.com/books?q=
-** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
-** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMHpsWDdfNWJTWWs/edit
+* [http://blog.wolfram.com/2013/09/19/exploring-maxwells-equations-with-mathematica-9/ Exploring Maxwell’s Equations with Mathematica 9—Wolfram Blog]
-<h5>관련기사</h5>
+==관련논문==
+* Tweney, Ryan D. ‘Representing the Electromagnetic Field: How Maxwell’s Mathematics Empowered Faraday’s Field Theory’. Science & Education 20, no. 7–8 (22 April 2010): 687–700. doi:10.1007/s11191-010-9256-9.
-*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
-** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
-** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
-** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
+==사전 형태의 자료==
-<h5>블로그</h5>
+* http://ko.wikipedia.org/wiki/맥스웰_방정식
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell's_equations
+[[분류:수리물리학]]
-* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
+==메타데이터==
-* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
+===위키데이터===
-* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q219153 Q219153]
-* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LEMMA': 'Maxwell'}]

"맥스웰 방정식"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 05:42 기준 최신판

목차

개요