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<h5>간단한 요약</h5>
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==개요==
  
 
* (고등학교 과정 내에서는) 수 체계의 완성.
 
* (고등학교 과정 내에서는) 수 체계의 완성.
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* 3차방정식의 해법으로, 그리고 타르탈리아와의 일로도 유명한 카르다노의 'Ars Magna' 의 3차 방정식의 풀이 중, 음수의 제곱근을 (형식적으로) 의미 없는 근으로 여기지 않은 부분이 있다. 그 결과로 실수해가 얻어지는 것을 보고 카르다노는 많이 당황하였다.
  
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<h5>배우기 전에 알고 있어야 하는 것들</h5>
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==배우기 전에 알고 있어야 하는 것들==
  
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* (10 - 가 의 복소수 단원을 위해서) 딱히 없음.
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*  삼각함수의 덧셈정리
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** 현재는 교육과정에서 빠져 있는 복소수의 극형식을 공부하기 위해서 필요
  
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<h5>중요한 개념 및 정리</h5>
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==중요한 개념 및 정리==
  
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<h5>재미있는 문제</h5>
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* <math>i^2=-1</math>
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* [[대수학의 기본정리]] 복소수를 계수로 가지는 <math>n</math>차방정식은 <math>n</math>개의 복소수근(만)을 가진다
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* 복소수의 극형식 :<math>z = r(\cos \theta + i \sin \theta)</math>, <math>r>0,\theta\in \mathbb{R}</math>
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* 극형식과 복소수의 곱셈 두 복소수<math>z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)</math>, <math>z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)</math>이면 :<math> z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\big(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) \big).</math>
  
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* [[드 무아브르의 정리, 복소수와 정다각형|드 무아브르 정리]]
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:<math>(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta</math>
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* 복소수는 삼각함수와 지수함수 사이의 교량과도 같다
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** 오일러의 공식 :<math> e^{i \theta}=\cos\theta + i\sin\theta</math> (복소수승의 정의(definition))
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** [[오일러의 공식|오일러의 공식 <math>e^{iπ}+1=0</math>]] 항목 참조
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*  복소평면 : 복소수와 평면 위의 점은 1-1 대응시킬 수 있다. (실수와 수직선 사이에 1-1 대응이 가능하듯이)
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** <math>|z_1 z_2 | = |z_1 ||z_2 |</math>, <math>\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)</math>
  
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<h5>관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들</h5>
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==켤레복소수==
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* 복소수 <math>z=x+i y</math> (<math>x,y</math>는 실수)에 대하여 켤레복소수 <math>\bar{z}</math>는 <math>\bar{z}=x-iy</math>로 정의된다
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* [[켤레복소수]] 항목 참조
  
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==재미있는 문제==
  
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* <math> e^{i\pi}+1 =0</math>
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* <math> i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}</math>, and... (실수) [[i^i 는 무엇일까?]]
  
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<h5>관련있는 다른 과목</h5>
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==관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들==
  
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* 이차방정식 <math> ax^2 + bx + c =0</math>의 근: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>(근의 공식), 특별히 <math>b^2 -4ac <0</math> 인 경우 두 복소근을 가짐.
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* 하나의 복소수가 실계수 방정식의 근이라면 그 켤레복소수도 역시 근이 됨.
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* 길이가 1인 복소수의 곱셈은 2차원 평면 상에서, 회전변환으로 이해할 수 있음.
  
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<h5>관련된 대학교 수학</h5>
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<math>\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)^2 = -\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)</math> 에서 <math> i \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)</math>
  
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<math> \cos \theta + i\sin\theta \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{array} \right)</math> :
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* [[2차원 회전 변환]] 항목 참조
  
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<h5>참고할만한 도서 및 자료</h5>
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==관련된 대학교 수학==
  
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* [[복소함수론]]
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** 고등학교에서 배우는 함수들은 정의역과 공역이 실수집합 또는 실수의 부분집합임.
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** 정의역과 공역을 복소수로 가지는 함수들을 배움.
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** 수학적으로 매우 풍부하고, 아름다운 결과들이 많아 공부할 가치가 많이 있음.
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* [[추상대수학]]
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** 복소수는 체의 구조를 가지고 있음.
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** 1차원은 실수, 2차원은 복소수, 그러면 3차원에는 ?
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** 4차원에는 복소수의 확장이라 할 수 있는 해밀턴의 사원수가 있음.
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* [[대수학의 기본정리]]
  
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* [http://www.jstor.org/stable/3616235 The Historical Development of Complex Numbers]<br>
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==메모==
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** D. R. Green
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* [http://www.math.uri.edu/~merino/spring06/mth562/ShortHistoryComplexNumbers2006.pdf A Short History of Complex Numbers]
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** <cite>The Mathematical Gazette</cite>, Vol. 60, No. 412 (Jun., 1976), pp. 99-107
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* [http://www.jstor.org/stable/3616235 The Historical Development of Complex Numbers]
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** D. R. Green, <cite>The Mathematical Gazette</cite>, Vol. 60, No. 412 (Jun., 1976), pp. 99-107
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* [[Dimensions]]
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** 아름다운 장면이 많은 수학 동영상
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** chapter 5,6는 복소수에 대한 내용을 담고 있음.
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==관련된 항목들==
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* [[쌍곡수]]
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* [[해밀턴의 사원수(quarternions)]]
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[[분류:고교수학]]

2020년 11월 16일 (월) 05:02 기준 최신판

개요

  • (고등학교 과정 내에서는) 수 체계의 완성.
  • 3차방정식의 해법으로, 그리고 타르탈리아와의 일로도 유명한 카르다노의 'Ars Magna' 의 3차 방정식의 풀이 중, 음수의 제곱근을 (형식적으로) 의미 없는 근으로 여기지 않은 부분이 있다. 그 결과로 실수해가 얻어지는 것을 보고 카르다노는 많이 당황하였다.



배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

  • (10 - 가 의 복소수 단원을 위해서) 딱히 없음.
  • 삼각함수의 덧셈정리
    • 현재는 교육과정에서 빠져 있는 복소수의 극형식을 공부하기 위해서 필요



중요한 개념 및 정리

  • \(i^2=-1\)
  • 대수학의 기본정리 복소수를 계수로 가지는 \(n\)차방정식은 \(n\)개의 복소수근(만)을 가진다
  • 복소수의 극형식 \[z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\], \(r>0,\theta\in \mathbb{R}\)
  • 극형식과 복소수의 곱셈 두 복소수\(z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)\), \(z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)\)이면 \[ z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\big(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) \big).\]

\[(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta\]

  • 복소수는 삼각함수와 지수함수 사이의 교량과도 같다
  • 복소평면 : 복소수와 평면 위의 점은 1-1 대응시킬 수 있다. (실수와 수직선 사이에 1-1 대응이 가능하듯이)
    • \(|z_1 z_2 | = |z_1 ||z_2 |\), \(\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\)


켤레복소수

  • 복소수 \(z=x+i y\) (\(x,y\)는 실수)에 대하여 켤레복소수 \(\bar{z}\)는 \(\bar{z}=x-iy\)로 정의된다
  • 켤레복소수 항목 참조

재미있는 문제


관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들

  • 이차방정식 \( ax^2 + bx + c =0\)의 근\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\](근의 공식), 특별히 \(b^2 -4ac <0\) 인 경우 두 복소근을 가짐.
  • 하나의 복소수가 실계수 방정식의 근이라면 그 켤레복소수도 역시 근이 됨.
  • 길이가 1인 복소수의 곱셈은 2차원 평면 상에서, 회전변환으로 이해할 수 있음.

\(\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)^2 = -\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\) 에서 \( i \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)\)

\( \cos \theta + i\sin\theta \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{array} \right)\) :


관련된 대학교 수학

  • 복소함수론
    • 고등학교에서 배우는 함수들은 정의역과 공역이 실수집합 또는 실수의 부분집합임.
    • 정의역과 공역을 복소수로 가지는 함수들을 배움.
    • 수학적으로 매우 풍부하고, 아름다운 결과들이 많아 공부할 가치가 많이 있음.
  • 추상대수학
    • 복소수는 체의 구조를 가지고 있음.
    • 1차원은 실수, 2차원은 복소수, 그러면 3차원에는 ?
    • 4차원에는 복소수의 확장이라 할 수 있는 해밀턴의 사원수가 있음.
  • 대수학의 기본정리



메모

관련된 항목들

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