사각 피라미드 퍼즐

수학노트
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개요

  • 공으로 다음 그림처럼 밑면이 정사각형인 피라미드를 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 될까?

2054496-q138.png

  • 1층 또는 24층 두 경우만이 가능하다
  • Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
  • 다음 타원곡선의 정수해 문제로 이해할 수 있음.

\[y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6} \tag{1}\]



티오판투스 방정식

  • 수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어진다

\[1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2\]



다른 정수계수 타원곡선으로의 변형

  • \(y^2=x^3-36x\) 의 정수해를 찾는 문제로의 변형
  • (1)에서 \(x=\frac{x_1-6}{12}\), \(y=\frac{y_1}{72}\) 로 치환하면, 다음을 얻는다.

\[y_1^2=x_1^3-36x_1 \tag{2}\]

  • (1)의 정수해는 위의 치환에 의해 (2)의 정수해에 대응되므로, (2)의 정수해를 모두 찾으면 된다.
  • (2)의 모든 정수해는 \((x_1,y_1)= (0, 0), (\pm6, 0), (-3,\pm9), (-2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다. [DP2009]
  • 이 중에서 \(y_1\)이 72의 배수가 되는 경우는 \((18,\pm72), (294,\pm5040)\)
  • 위에서 찾은 정수해는 타원곡선\(y^2=x^3-36x\)의 rank가 1이상임을 증명한다
  • 이는 또한 6이 합동수 임을 증명한다



부분적인 풀이

서로소인 3 개의 수의 곱이 완전 제곱수라면 그 3 개의 수가 각각 완전제곱수 임을 이용하자. x ≡ -2 (mod 6) 인 경우 \(x=6t-2\)로 두면, \((3t-1)(6t-1)(4t-1) = y^2\)

x ≡ 3 (mod 6)인 경우 (2t+1)(3t+2)(12t+7) = y²

x ≡ -1 (mod 6)인 경우 (6t+5)(t+1)(12t+11) = y²

세번째 인수들은 완전제곱 ≡ -1 (mod 4) 이 되므로 모순이다.

x ≡ 2 (mod 6) 인 경우 (3t+1)(2t+1)(12t+5) = y²

3t+1=p^2, 12t+5=q^2 으로 두면, q^2-4p^2=1이고 p=0 이어야 하므로, 모순이다.



메모

  • 24차원의 리치 격자는, 26차원 even unimodular 격자 \(II_{25,1}\)의 길이 0인 벡터 \((0,1,2,3,\dots,22,23,24; 70)\)을 사용하여 구성할 수 있다



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