순환소수와 이차 수체의 유수

수학노트
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개요

  • 1/7의 순환소수전개를 구하는 과정은 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\) 의 class number 를 계산하기에 충분한 정보를 담고 있다\[\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\] 의 경우


\(g_0=1,g_1=3,g_2=2,g_3=6,g_4=4,g_5=5,g_6=1,\cdots\)

\(y_1=1,y_2=4,y_3=2,y_4=8,y_5=5,y_6=7,\cdots\)

\(10g_{k-1}=7 y_k+g_k\)

여기서

\(\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1\) 가 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\)의 class number이다.

  • \(p \equiv 3 \pmod{4}\)인 경우에 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\)의 class number 를 구하는 정리




순환소수 전개를 통한 class number의 계산

  • 7이상의 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 에 대하여 숫자 "10"이 군 \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)의 원시근(primitive root)이라 하자
  • 예 p=7, p=23
  • 이 경우 \(1/p\)의 순환소수 전개를 통해 다음과 같이 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\)의 유수 h를 계산할 수 있다

\[\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}\] \[h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}\]

증명
  • [Girstmair94] 참조

디리클레 L-함수 에 있는 다음 결과를 이용한다. \[h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{k}{p})\frac{k}{p}\]

\({g_k}\)를 \(g_k \equiv 10^k \pmod p\) 를 만족시키는 \(\{1,\cdots,p-1\}\)의 원소로 정의하자.

10이 \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)를 생성하므로 \[h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{g_k}{p})\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{g_k}{p}\]

한편 \(\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}\) 를 순환소수전개로 얻는다면,

\(10g_{k-1}=p y_k+g_k\) 즉, 다음이 성립한다 \[y_k=\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}\] (\(k=1,\cdots, p-1\))

다시 증명으로 돌아가자. \[11h=10h+h=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{10g_k}{p}-\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k\] 따라서 \[h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}\] ■


p=7인 경우의 예

  • 7의 경우

\[\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\] \[\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1\]




p=23의 경우





cyclic numbers



역사



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