"쌍곡기하학"의 두 판 사이의 차이
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* 곡률이 음인 공간에서의 기하학을 지칭하는 말 | * 곡률이 음인 공간에서의 기하학을 지칭하는 말 | ||
* 곡률이 음인 공간은 3차원 상에서 각 점이 말안장처럼 보이게 된다 | * 곡률이 음인 공간은 3차원 상에서 각 점이 말안장처럼 보이게 된다 | ||
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* [[푸앵카레 상반평면 모델|포앵카레 상반평면 모델]]에서 자세히 다룸 | * [[푸앵카레 상반평면 모델|포앵카레 상반평면 모델]]에서 자세히 다룸 | ||
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* 1824년 가우스의 쌍곡기하학에 대한 연구 | * 1824년 가우스의 쌍곡기하학에 대한 연구 | ||
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* 1832년 볼리아이 | * 1832년 볼리아이 | ||
* 1868년 벨트라미는 비유클리드 기하학이 음의 곡률을 갖는 곡면위의 기하학임을 보임 | * 1868년 벨트라미는 비유클리드 기하학이 음의 곡률을 갖는 곡면위의 기하학임을 보임 | ||
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* [[fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리]] | * [[fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리]] | ||
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* [http://www.msri.org/communications/books/Book31/files/cannon.pdf Hyperbolic Geometry]<br> | * [http://www.msri.org/communications/books/Book31/files/cannon.pdf Hyperbolic Geometry]<br> | ||
** James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997), MSRI Publications, volume 31. | ** James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997), MSRI Publications, volume 31. | ||
* [http://www.jstor.org/stable/2974912 How Hyperbolic Geometry Became Respectable]<br> | * [http://www.jstor.org/stable/2974912 How Hyperbolic Geometry Became Respectable]<br> | ||
| − | ** Abe Shenitzer, | + | ** Abe Shenitzer, <cite style="line-height: 2em;">[http://www.jstor.org/action/showPublication?journalCode=amermathmont The American Mathematical Monthly]</cite>, Vol. 101, No. 5 (May, 1994), pp. 464-470 |
* '''[Milnor1982]'''[http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183548588 Hyperbolic geometry: The first 150 years]<br> | * '''[Milnor1982]'''[http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183548588 Hyperbolic geometry: The first 150 years]<br> | ||
** John W. Milnor, Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 9-24. | ** John W. Milnor, Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 9-24. | ||
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* http://dx.doi.org/ | * http://dx.doi.org/ | ||
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* [http://www.amazon.com/Gateway-Modern-Geometry-Poincare-Half-Plane/dp/0763753815/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1259658855&sr=1-1 Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)]<br> | * [http://www.amazon.com/Gateway-Modern-Geometry-Poincare-Half-Plane/dp/0763753815/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1259658855&sr=1-1 Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)]<br> | ||
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query= | ** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query= | ||
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* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
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** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/11/821 비유클리드 기하학 입문(3) : 콕세터가 들려주는 에셔] | ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/11/821 비유클리드 기하학 입문(3) : 콕세터가 들려주는 에셔] | ||
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/22/836 비유클리드 기하학 입문(4) : 콕세터가 설명하는 반전(inversion)] | ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/22/836 비유클리드 기하학 입문(4) : 콕세터가 설명하는 반전(inversion)] | ||
| − | ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/22/839 비유클리드 기하학 입문(5) : 반전에 반전 | + | ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/10/22/839 비유클리드 기하학 입문(5) : 반전에 반전 \[Ellipsis] 반전만 구백번\[Ellipsis]] |
** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/11/14/872 비유클리드 기하학 입문(6) : 세가지의 2차원 기하학] | ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/11/14/872 비유클리드 기하학 입문(6) : 세가지의 2차원 기하학] | ||
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2012년 9월 8일 (토) 22:49 판
개요
- 일반적으로 비유클리드 기하학을 말할때 지칭하는 기하학
- 쌍곡평면에서는 한 직선\(\ell\)과 그 직선 위에 있지 않은 한 점\(P\)가 주어져 있을때, \(P\)를 지나는 \(\ell\)과 평행한 직선이 무수히 많이 존재
- 곡률이 음인 공간에서의 기하학을 지칭하는 말
- 곡률이 음인 공간은 3차원 상에서 각 점이 말안장처럼 보이게 된다
- 쌍곡면은 쌍곡기하학의 모델을 제공하므로 쌍곡기하학이라 부르게 되었다
포앵카레 상반평면 모델
- \(\mathbb{H}^2=\{z=x+iy\in\mathbb{C}|y>0\}\)
\(ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}\) - 포앵카레 상반평면 모델에서 자세히 다룸
원반 모델
\(U=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{x^2+y^2} < 1 \}\)
\(ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dz\,d\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}\)
\(dA=\frac{dx\,dy}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dx\,dy}{(1-|z|^2)^2}\)
두 점 사이의 거리
\(z_ 1,z_ 2 \in U\)
\(\rho(z_ 1,z_ 2)=2\tanh^{-1}\left|\frac{z_ 1-z_ 2}{1-z_ 1\overline{z_ 2}}\right|\)
[/pages/3065168/attachments/2600961 H2PlaneLines_med.jpg]
쌍곡기하학의 테셀레이션
| 평면기하학 | 쌍곡기하학 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| p4m | p3m | p6m | |||
| *442 | *333 | *632 | *732 | *542 | *433 |
| [[]]
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[[]]
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[[]]
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[[]]
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(7 3 2)라는 것은 그 삼각형의 세 각이 각각
\(\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\)
라는 것을 말한다. 이 세각의 크기를 모두 더하면,
\(\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}\)
가 되어, 180도보다 작게 된다. 쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.
역사
- 1824년 가우스의 쌍곡기하학에 대한 연구
- 1829년 로바체프스키 쌍곡기하학에 대한 출판
- 1832년 볼리아이
- 1868년 벨트라미는 비유클리드 기하학이 음의 곡률을 갖는 곡면위의 기하학임을 보임
- [Milnor1982]
- 수학사연표
메모
관련된 항목들
- 미분기하학
- 뫼비우스 변환군과 기하학
- 로바체프스키와 클라우센 함수
- 사영기하학과 교차비
- fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리
- 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli모듈라 군
- 수학과 미술
사전 형태의 자료
관련논문
- Hyperbolic Geometry
- James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997), MSRI Publications, volume 31.
- How Hyperbolic Geometry Became Respectable
- Abe Shenitzer, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 5 (May, 1994), pp. 464-470
- [Milnor1982]Hyperbolic geometry: The first 150 years
- John W. Milnor, Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 9-24.
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://dx.doi.org/
관련도서
- Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)
- S. Stahl, Jones & Bartlett Publishers; 2 edition (November 25, 2007)
- Sources of Hyperbolic Geometry
- John Stillwell, American Mathemataical Society (December 1996)
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관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)