"쌍곡기하학"의 두 판 사이의 차이

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가 되어, 180도보다 작게 된다. '''쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.'''
 
가 되어, 180도보다 작게 된다. '''쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.'''
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<h5>쌍곡기하학의 삼각형</h5>
 
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위의 그림들처럼 그 공간을 똑같이 생긴 삼각형으로 채운 그림은, 지금 나온것만 해도 위상수학, 미분기하학, 군론 등등 많은 수학을 이어주기 때문에, 중요하다. 가령 아래 그림 역시 쌍곡기하학의 그림인데, [http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_group Modular group]이라고 하는 수학적으로 매우 중요한 대상을 공부할 때, 반드시 등장한다. 참고로 이 그림에 등장하는 삼각형은 <math> (2, 3, \infty)</math>이다.
 
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사 람들은 유클리드 기하학이 가장 쉬운 기하학이라고 생각을 하지만, 삼각형의 넓이 구하는 일을 생각하면 꼭 그렇지가 않다. 초등학교에 가면 삼각형의 넓이 구하는 방법을 가르쳐주는데, 변의 길이를 적어도 하나는 꼭 알아야 한다. 그런데 hyperbolic geometry에서는 변의 길이를 알필요가 전혀 없다. '''각도가 모든 것을 결정한다'''!!! 삼각형의 세 각이 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>로 주어져 있다면 그 넓이는 <math>\pi - \alpha- \beta- \gamma</math> 가 된다.
 
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이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실,
 
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<math>1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n})</math>
 
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를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.
 
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정답은 바로 아래의 그림에 있다. 혹시나 이런 그림을 읽을줄 모르는 사람들을 오늘 이걸 잘 봐둬서 앞으로 이런 류의 그림을 볼때 편안한 마음을 가질수 있도록 한다.
 
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그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 어떻게 하면 되겠는가. 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는
 
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<math>\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}</math>
 
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로 주어진다. 이를 [http://en.wikipedia.org/wiki/%282,3,7%29_triangle_group (2,3,7) 삼각형]이라 부른다. 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는
 
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<math>\pi-\frac{\pi}{7}-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{42}</math>
 
  
 
 
 
 
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* [http://www.msri.org/communications/books/Book31/files/cannon.pdf Hyperbolic Geometry]<br>
 
* [http://www.msri.org/communications/books/Book31/files/cannon.pdf Hyperbolic Geometry]<br>
 
** James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997), MSRI Publications, volume 31.
 
** James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997), MSRI Publications, volume 31.
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* [http://www.jstor.org/stable/2974912 How Hyperbolic Geometry Became Respectable]<br>
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** Abe Shenitzer, <cite style="line-height: 2em;">[http://www.jstor.org/action/showPublication?journalCode=amermathmont The American Mathematical Monthly]</cite>, Vol. 101, No. 5 (May, 1994), pp. 464-470
 
* '''[Milnor1982]'''[http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183548588 Hyperbolic geometry: The first 150 years]<br>
 
* '''[Milnor1982]'''[http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183548588 Hyperbolic geometry: The first 150 years]<br>
 
** John W. Milnor, Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 9-24.
 
** John W. Milnor, Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 9-24.

2009년 12월 5일 (토) 10:37 판

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개요
  • 일반적으로 비유클리드 기하학을 말할때 지칭하는 기하학
  • 서로 다른 두 평행선은 한 점에서 만날수도 있고, 만나지 않을수도 있음
  • 곡률이 음인 공간에서의 기하학을 지칭하는 말

 

 

포앵카레 상반평면 모델

 

 

원반 모델

\(U=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{x^2+y^2} < 1 \}\)

\(ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dz\,d\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}\)

\(dA=\frac{dx\,dy}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dx\,dy}{(1-|z|^2)^2}\)

두 점 사이의 거리

\(z_1,z_2 \in U\)

\(\rho(z_1,z_2)=2\tanh^{-1}\left|\frac{z_1-z_2}{1-z_1\overline{z_2}}\right|\)

 

[/pages/3065168/attachments/2600961 H2PlaneLines_med.jpg]

 

 

쌍곡기하학의 테셀레이션

 

평면기하학 쌍곡기하학
p4m p3m p6m      
*442 *333 *632 *732 *542 *433
[[]]


(4 4 2)

[[]]


(3 3 3)

[[]]


(6 3 2)

[[]]


(7 3 2)

[[]]


(5 4 2)

[[]]


(4 3 3)

(7 3 2)라는 것은 그 삼각형의 세 각이 각각

\(\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\)

라는 것을 말한다. 이 세각의 크기를 모두 더하면,

\(\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}\)

가 되어, 180도보다 작게 된다. 쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.

 

 

역사
  • 1824년 가우스의 쌍곡기하학에 대한 연구
  • 1829년 로바체프스키가 쌍곡기하학에 대한 출판
  • 1832년 볼리아이
  • 1868년 벨트라미는 비유클리드 기하학이 음의 곡률을 갖는 곡면위의 기하학임을 보임
  • [Milnor1982]
  • 수학사연표

 

 

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