"정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">기약형식과 모듈라 군</h5>
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">기약형식</h5>
  
 
*  주어진 이차형식이 있을때, <br>
 
*  주어진 이차형식이 있을때, <br>
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*  기약 형식<br>
 
*  기약 형식<br>
 
**  양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름<br><math>|b|\leq a \leq c</math> and <math>b \geq 0</math> if either <math>|b|=a </math> or <math>a=c</math><br>
 
**  양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름<br><math>|b|\leq a \leq c</math> and <math>b \geq 0</math> if either <math>|b|=a </math> or <math>a=c</math><br>
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* <math>ax^2+bxy+cy^2=a(x+\tau y)(x+\bar{\tau} y)</math>, <math>\Im \tau >0</math> 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다<br><math>|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}</math><br><math>a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1</math><br> fundamental domain의 경계조건은 <math>b \geq 0</math> if either <math>|b|=a </math> or <math>a=c</math> 로 옮겨짐<br><br>
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* <math>ax^2+bxy+cy^2=a(x+\tau y)(x+\bar{\tau} y)</math>, <math>\mbox{Im}\, \tau >0</math> 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다<br><math>|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}</math><br><math>a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1</math><br> fundamental domain의 경계조건은 <math>b \geq 0</math> if either <math>|b|=a </math> or <math>a=c</math> 로 옮겨짐<br><br>
  
 
 
 
 
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<h5>가우스의 class number 1 문제</h5>
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<h5>가우스의 class number one 문제</h5>
  
 
*  기본판별식(fundamental discriminant)<br>
 
*  기본판별식(fundamental discriminant)<br>
 
** <math>\Delta=\Delta_0f^2</math> 의 형태로 쓸 수 없는 <math>\Delta</math> (<math>\Delta_0</math>는 적당한 판별식, <math>f</math>는 1보다 큰 정수)
 
** <math>\Delta=\Delta_0f^2</math> 의 형태로 쓸 수 없는 <math>\Delta</math> (<math>\Delta_0</math>는 적당한 판별식, <math>f</math>는 1보다 큰 정수)
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** [[이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론|이차 수체(quadratic number fields)]] 로부터 얻어지는 판별식임
 
*  가우스의 문제<br>
 
*  가우스의 문제<br>
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** 기본판별식 <math>\Delta</math> 에 대하여 <math>h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163</math>
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** 기본판별식 <math>\Delta<0</math> 에 대하여 <math>h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163</math>
 
*  일반적으로는 다음과 같음<br>
 
*  일반적으로는 다음과 같음<br>
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** <math>h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163</math>
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** <math>h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-12, -16,-19,-27,-28,-43,-67,-163</math>
 
* [[가우스의 class number one 문제]] 항목에서 자세히 다룸
 
* [[가우스의 class number one 문제]] 항목에서 자세히 다룸
  
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_quadratic_form
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_quadratic_form
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_problem
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_problem
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* http://mathworld.wolfram.com/ClassNumber.html
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">동영상</h5>
  
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* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=
 
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2009년 8월 11일 (화) 05:04 판

간단한 소개
  • \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식
  • 자연수를 두 개의 제곱의 합으로 표현하는 문제에서 체계적인 연구가 시작

 

 

기본용어
  • 판별식
    \(\Delta=b^2-4ac\)
  • 이차형식의 동치류
    • 다음 두 변환에 의한 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의
      \(x \to x+y\) , \(y \to y\)
      \(x \to x\), \(y \to x+y\)
      행렬로 표현하면 각각 다음과 같으며 모듈라 군(modular group)을 생성함
      \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
    • 즉 \(f(x,y)=g(ax+by,cx+dy)\) 인 정수 \(ad-bc= 1\) 가 존재하면, \(f\sim g\) 이라 함
  • primitive 이차형식
    \(a,b,c\) 가 서로소인 이차형식 \(ax^2+bxy+cy^2\)

 

중요한 문제들
  • 주어진 이차형식이 표현할 수 있는 정수에 관한 문제
    • 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 정수집합은 무엇인가?
    • 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 소수는 무엇인가?
  • 주어진 판별식\(\Delta\) 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제
    • \(\Delta=b^2-4ac\)를 만족시키는 모든 \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것
    • 판별식이 \(\Delta\)인 primitive 이차형식의 동치류의 개수 \(h(\Delta)\)를 \(\Delta\)에 대한 class number 라 함

 

 

기약형식
  • 주어진 이차형식이 있을때, 
  • 모듈라 군의 fundamental domain은 다음과 같다
    \(R = \left\{ \tau \in H: \left| \tau \right| \geq 1,\, \left| \,\mbox{Re}(\tau) \,\right| \leq \frac{1}{2} \right\}\)
    + 경계조건
  • 기약 형식
    • 양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름
      \(|b|\leq a \leq c\) and \(b \geq 0\) if either \(|b|=a \) or \(a=c\)
  • \(ax^2+bxy+cy^2=a(x+\tau y)(x+\bar{\tau} y)\), \(\mbox{Im}\, \tau >0\) 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다
    \(|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}\)
    \(a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1\)
    fundamental domain의 경계조건은 \(b \geq 0\) if either \(|b|=a \) or \(a=c\) 로 옮겨짐

 

판별식이 작은 경우의 기약형식 예
  •  
  • \(\Delta=b^2-4ac=-3\)
    • \(x^2+xy+y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-4\)
    • \(x^2+y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-7\)
    • \(x^2+xy+2y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-8\)
    • \(x^2+2y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-11\)
    • \(x^2+xy+3y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-12\)
    •  
    • \(x^2+3y^2\), \(2x^2+2xy+2y^2\) (이 경우는 primitive 가 아님)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-15\)
    •  
    • \(x^2+xy+4y^2\), \(2x^2+xy+2y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-23\)
    •  
    • \(x^2+xy+6y^2\), \(2x^2-xy+3y^2\), \(2x^2+xy+3y^2\)
    • \(h(\Delta)=3\) 이 되는 첫번째 예
  • \(\Delta=b^2-4ac=-163\)

 

 

가우스의 class number one 문제
  • 기본판별식(fundamental discriminant)
    • \(\Delta=\Delta_0f^2\) 의 형태로 쓸 수 없는 \(\Delta\) (\(\Delta_0\)는 적당한 판별식, \(f\)는 1보다 큰 정수)
    • 이차 수체(quadratic number fields) 로부터 얻어지는 판별식임
  • 가우스의 문제
    • 기본판별식 \(\Delta<0\) 에 대하여 \(h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163\)
  • 일반적으로는 다음과 같음
    • \(h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-12, -16,-19,-27,-28,-43,-67,-163\)
  • 가우스의 class number one 문제 항목에서 자세히 다룸

 

 

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