조화수열과 조화급수

수학노트
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개요

<math>\gamma=0.577215664901532860606512090\cdots</math>

근사 공식

  • 오일러-맥클로린 공식 을 통해 다음을 얻는다 :<math>H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\sim \log n +\gamma+\frac{1}{2n}-\sum_{s=1}^{\infty}\frac{B_{2s}}{(2s)n^{2s}}</math>
  • 다음이 성립한다 :<math>H_{n}= \log n +\gamma+ O(1/n)</math>

성질

<math>H_{n-1}=H_n-\frac{1}{n}</math>

<math>H_ {n-1}^2=(H_n-\frac{1}{n})^2=H_n^2+\frac{1}{n^2}-\frac{2H_n}{n}</math>



생성함수

<math>\sum_{n=1}^\infty H_nz^n = \frac {-\ln(1-z)}{1-z}</math>



생성함수의 응용

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n+1}z^{n+1} =\frac{1}{2}\log^2(1-z)</math>

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}z^n =\operatorname{Li}_ 2(z)+\frac{1}{2}\log^2(1-z)</math>


<math>z=e^{it}</math>, <math>0 \leq t \leq \pi</math> 에서

위 식의 실수부를 취하면, 각각 다음 식을 얻는다.

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n+1}\sin (n+1)t=\frac{1}{2}(t-\pi)\log(2\sin\frac{t}{2})</math>

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}\sin nt=\operatorname{Cl}_ 2(t)+\frac{1}{2}(t-\pi)\log(2\sin\frac{t}{2})</math>

로바체프스키와 클라우센 함수





조화수열과 급수

<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^2}{(n+1)^2}=\frac{11\pi^4}{360}</math>

<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^2}{n^2}=\frac{17\pi^4}{360}</math>

<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^3}=\frac{\pi^4}{72}</math>



역사



메모

http://sos440.tistory.com/202

http://sos440.tistory.com/200


관련된 항목들




사전 형태의 자료


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위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'harmonic'}, {'LEMMA': 'series'}]
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