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==개요==
  
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*  정의:<math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math>
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* [[로그 사인 적분 (log sine integrals)]] 으로 일반화된다
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* [[로바체프스키 함수]] 와의 관계:<math>\operatorname{Cl}_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)</math>
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==다이로그 함수와의 관계==
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* [[다이로그 함수(dilogarithm)]]는 복소수 <math>|z|<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의됨
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:<math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math>
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* <math>|z|\leq 1</math> 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, <math>|z|\leq 1</math>에서 연속
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* <math>z=e^{i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math> 일때:<math>\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}</math>:<math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=\operatorname{Cl}_2(\theta)</math>
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* [[블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)]]
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==덧셈공식==
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<math>\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{2k\pi}{n})</math>
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==트리감마 함수와 special values==
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* <math>\theta=p\pi/q</math>일 때, (<math>p,q\in\mathbb{N}</math>, <math>p=1,2,\cdots,2q-1</math>):<math>\operatorname{Cl}_2(\frac{p\pi}{q})=\frac{1}{4q^2}\sum_{r=1}^{2q-1}\psi^{(1)}(\frac{r}{2q})\sin\frac{rp\pi}{q}</math> 여기서 <math>\psi^{(1)}</math>는 [[트리감마 함수(trigamma function)]]
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* <math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G</math>, <math>G</math>는 [[카탈란 상수]]
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* <math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))</math>
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* http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html
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==역사==
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사 연표]]
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==메모==
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<math>\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{Cl}_2(x)\,dx=\frac{2}{3}\zeta(3)</math>
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==관련된 항목들==
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* [[트리감마 함수(trigamma function)]]
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Clausen_function
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* http://mathworld.wolfram.com/ClausensIntegral.html
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==관련논문==
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* [http://link.aip.org/link/?JMAPAQ/50/023515/1 A dilogarithmic integral arising in quantum field theory]
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** Djurdje Cvijović, J. Math. Phys. 50, 023515 (2009)
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* [http://link.aip.org/link/?JMAPAQ/49/043510/1 On a three-dimensional symmetric Ising tetrahedron and contributions to the theory of the dilogarithm and Clausen functions]
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** Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 043510 (2008); doi:10.1063/1.2902996
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* [http://link.aip.org/link/?JMAPAQ/49/093508/1 Evaluation of a ln tan integral arising in quantum field theory]
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** Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 093508 (2008); doi:10.1063/1.2981311
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* [http://dx.doi.org/10.1016/0377-0427%2884%2990008-6 Formulae concerning the computation of the Clausen integral Cl2(θ)]
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** C.C. Grosjean, <em style="line-height: 2em;">J. Comput. Appl. Math.</em> '''11''' (1984), pp. 331–342
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* [http://dx.doi.org/10.1016/0377-0427%2884%2990007-4 On the Clausen integral Cl2(Θ) and a related integral]
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** P. J. de Doelder, J. Comput. Appl. Math. 11, 325 (1984)
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* [http://www.jstor.org/stable/2004590 Efficient Calculation of Clausen's Integral]
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** Van E. Wood, Mathematics of Computation, Vol. 22, No. 104 (Oct., 1968), pp. 883-884
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[[분류:다이로그]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q823290 Q823290]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'clausen'}, {'LEMMA': 'function'}]

2021년 2월 17일 (수) 06:02 기준 최신판

개요

  • 정의\[\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\]



다이로그 함수와의 관계

\[\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\]

  • \(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
  • \(z=e^{i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때\[\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\]\[\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=\operatorname{Cl}_2(\theta)\]
  • 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)



덧셈공식

\(\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{2k\pi}{n})\)



트리감마 함수와 special values



역사




메모

\(\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{Cl}_2(x)\,dx=\frac{2}{3}\zeta(3)\)


관련된 항목들


사전 형태의 자료



관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'clausen'}, {'LEMMA': 'function'}]
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