"타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)"의 두 판 사이의 차이

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* 근사식 '''[Rademacher1938]'''
 
* 근사식 '''[Rademacher1938]'''
 
:<math>c(n)=\frac{2\pi}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^\infty \frac{A_k(n)}{k}I_{1}(\frac{4\pi\sqrt{n}}{k})</math>
 
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여기서 <math>I_ 1</math> 은 베셀함수,
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:<math>A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{-2\pi i (nh+h')/k }</math>  
 
:<math>A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{-2\pi i (nh+h')/k }</math>  
 
이 때, <math>hh'\equiv -1 \mod k</math>. $A_k(n)$은 [[클루스터만 합]]의 특수한 경우
 
이 때, <math>hh'\equiv -1 \mod k</math>. $A_k(n)$은 [[클루스터만 합]]의 특수한 경우

2013년 4월 15일 (월) 14:44 판

개요

  • j-invariant
    • 클라인의 absolute j-invariant 라는 이름으로 불리기도 함
  • 타원 모듈라 함수(elliptic modular function) 로 불리기도 함
  • 몬스터 군의 monstrous moonshine에 등장



여러가지 (같은) 정의들

\(j(\tau)= {E_ 4(\tau)^3\over \Delta(\tau)}=\frac{(1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n)^3}{q-24q+252q^2+\cdots} =q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots\)

여기서 \(q=e^{2\pi i\tau}\)

\( E_ 4(\tau)=1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n= 1+240q+2160q^2+\cdots\) (아이젠슈타인 급수(Eisenstein series))

\((\sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3)\)

\(\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2+\cdots\)

\(j(\tau)=1728\frac{g_ 2^3}{g_ 2^3-27g_ 3^2}\)


singular moduli



푸리에계수

  • 1, 744, 196884, 21493760, 864299970, 20245856256, 333202640600, 4252023300096, 44656994071935, 401490886656000, 3176440229784420, 22567393309593600, 146211911499519294, 874313719685775360, 4872010111798142520, 25497827389410525184
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000521
  • 근사식 [Rademacher1938]

\[c(n)=\frac{2\pi}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^\infty \frac{A_k(n)}{k}I_{1}(\frac{4\pi\sqrt{n}}{k})\] 여기서 \(I_ 1\) 은 베셀 함수, \[A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{-2\pi i (nh+h')/k }\] 이 때, \(hh'\equiv -1 \mod k\). $A_k(n)$은 클루스터만 합의 특수한 경우

  • 점근 급수

$$ c(n)\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}\left(1-\frac{3}{32\pi\sqrt{n}}+O(n)\right) $$


슈나이더의 정리

  • 복소상반평면의 대수적 수 \(\tau\in \mathbb{H} \cap \bar{\mathbb{Q}}\)에 대하여, \(\tau\)가 2차(imaginary quadratic)가 아니면, \(j(\tau)\)는 초월수이다.




메모



관련된 항목들



사전형태의 자료



관련도서



관련논문과 에세이

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