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수학노트

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2012년 11월 2일 (금) 08:56 판

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트리감마 함수(trigamma function)

개요

다이감마 함수(digamma function) 함수의 도함수
다음과 같이 주어진다
\(\psi'(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+z)^2}\)

성질

\(\psi^{(1)}(z + 1) - \psi^{(1)}(z) =-\frac{1}{z^{2}}\)

차분방정식에의 응용

덧셈공식

\(\psi^{(1)}(z)+ \psi^{(1)}\left(z + \frac{1}{m}\right) + \cdots+ \psi^{(1)}\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = m^{2}\psi^{(1)}(mz)\)

후르비츠 제타함수

후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)
\(\psi'(z)=\zeta(2,z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+z)^2}\)

클라우센 함수와의 관계

클라우센 함수(Clausen function)
클라우센 함수\(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))\)
여기서 \(\psi^{(1)}\)는 트리감마(trigamma)함수.

http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A143298

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Gieseking's+constant.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt(3)*(trigamma(1/3)-trigamma(2/3))/12

재미있는 사실

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

역사

메모

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(polylog[2,exp(-i*2pi/3)]-polylog[2,exp(i*2pi/3)])*i/2

http://www.wolframalpha.com/input/?i=i*0.5*(-(i+trigamma(1/6))/(12+sqrt(3))-(i+trigamma(1/3))/(12+sqrt(3))%2B(i+trigamma(2/3))/(12+sqrt(3))%2B(i+trigamma(5/6))/(12+sqrt(3)))

http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html

관련된 항목들

로바체프스키와 클라우센 함수

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