트리감마 함수(trigamma function)
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요==
- 다이감마 함수(digamma function) 함수의 도함수
- 다음과 같이 주어진다
\(\psi'(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+z)^2}\)
\(\psi'(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+z)^2}\)
성질==
\(\psi^{(1)}(z + 1) - \psi^{(1)}(z) =-\frac{1}{z^{2}}\)
- 차분방정식에의 응용
덧셈공식== \(\psi^{(1)}(z)+ \psi^{(1)}\left(z + \frac{1}{m}\right) + \cdots+ \psi^{(1)}\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = m^{2}\psi^{(1)}(mz)\)
후르비츠 제타함수==
- 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)
\(\psi'(z)=\zeta(2,z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+z)^2}\)
\(\psi'(z)=\zeta(2,z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+z)^2}\)
클라우센 함수와의 관계==
- 클라우센 함수(Clausen function)
클라우센 함수\(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))\)
여기서 \(\psi^{(1)}\)는 트리감마(trigamma)함수.
http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A143298
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Gieseking's+constant.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt(3)*(trigamma(1/3)-trigamma(2/3))/12
클라우센 함수\(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))\)
여기서 \(\psi^{(1)}\)는 트리감마(trigamma)함수.