"파울리 방정식"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 06:04 기준 최신판

개요

전자의 스핀과 전자기장의 상호작용을 고려한 슈뢰딩거 방정식 의 변형
슈뢰딩거 방정식의 linearization 을 통해 유도할 수 있다
파울리 행렬 이 등장한다

전자기장에서의 슈뢰딩거 방정식

다음과 같이 주어진 전자기장을 생각하자
- 벡터 포텐셜 \(\mathbf{A}(x,y,z,t)=(A_{x},A_{y},A_{z})\)
- 스칼라 포텐셜 \(\phi(x,y,z,t)\)
- 맥스웰 방정식 참조
슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 쓰여진다 \(i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} =\left[ \frac{1}{2m}(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2+e\phi \right]\psi\)

파울리 방정식

\(\vec{\sigma}=(\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3})\) 는 파울리 행렬 로 이루어진 벡터
파울리는 위의 슈뢰딩거 방정식에서 \(\mathbf{p}-e\mathbf{A}\) 를 \(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A})\) 로 바꾸어, 다음 방정식을 얻는다\[i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle =\left[ \frac{1}{2m}(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2 + e \phi \right] |\psi\rangle \]
스핀 1/2 인 경우 성분을 나누어 다음과 같이 쓸 수 있다

\[i\hbar \begin{pmatrix} \frac{\displaystyle \partial \psi_0 }{\displaystyle \partial t} \\[6pt] \frac{\displaystyle \partial \psi_1 }{\displaystyle \partial t} \end{pmatrix}=\left[ \frac{1}{2m} \left( \sum_{n=1}^3 \left(\sigma_n \left( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x_n} - e A_n\right)\right) \right) ^2 + e \phi \right]\begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{pmatrix}\]

스핀과 자기장의 상호작용

파울리 방정식은 다음과 같이 나누어 이해할 수 있으며, 스핀과 자기장의 상호작용이 포함되게 된다

\[\underbrace{i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\varphi_\pm\rangle = \left( \frac{( \mathbf{p} -e \mathbf A)^2}{2 m} + e \phi \right) \hat 1 \mathbf |\varphi_\pm\rangle }_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{e \hbar}{2m}\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf B \mathbf |\varphi_\pm\rangle }_\text{Stern Gerlach term}\]

이를 유도하기 위해서는 다음과 같은 결과가 필요하다
\((\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})\) (증명) 일반적으로 \((\vec{\sigma}\cdot \mathbf{X})(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{Y})=\mathbf{X}\cdot \mathbf{Y}+i \vec{\sigma}\cdot (\mathbf{X}\times \mathbf{Y})\) 이 성립한다. 연산자로서 \((\mathbf{p} \times \mathbf{A}+ \mathbf{A} \times \mathbf{p})\psi=\mathbf{p} \times (\mathbf{A} \psi)+ \mathbf{A} \times (\mathbf{p}\psi)=(\mathbf{p} \times \mathbf{A})\psi= -i\hbar \mathbf{B}\psi\) (\(\mathbf{p}\times \mathbf{A} = -i\hbar \nabla \times \mathbf{A}= -i\hbar \mathbf{B}\)와 \(\nabla \times (f\mathbf{A}) = f(\nabla \times \mathbf{A}) + (\nabla f) \times \mathbf{A}\) 가 사용되었다) 즉 \((\mathbf{p} - e \mathbf{A}) \times (\mathbf{p} - e \mathbf{A}) = - e \mathbf{p} \times \mathbf{A}- e \mathbf{A} \times \mathbf{p} = e i\hbar \mathbf{B}\) 따라서 \((\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2+i \vec{\sigma}\cdot (e i\hbar \mathbf{B})=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})\) ■

http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=407424

역사

1927 파울리
http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사 연표

메모

Hladik Spinors in Physics 4.2.2.
Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

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메타데이터

위키데이터

ID : Q604572

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'pauli'}, {'LEMMA': 'equation'}]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소</h5>
+==개요==
-* [[파울리 방정식]]
-<h5>개요</h5>
 * 전자의 스핀과 전자기장의 상호작용을 고려한 [[슈뢰딩거 방정식]] 의 변형
 * 슈뢰딩거 방정식의 linearization 을 통해 유도할 수 있다
-* [[search?q=%ED%8C%8C%EC%9A%B8%EB%A6%AC%20%ED%96%89%EB%A0%AC&parent id=10821024|파울리 행렬]] 이 등장한다
+* [[파울리 행렬]] 이 등장한다
-<h5>전자기장에서의 슈뢰딩거 방정식</h5>
+==전자기장에서의 슈뢰딩거 방정식==
-*  다음과 같이 주어진 전자기장을 생각하자<br>
+*  다음과 같이 주어진 전자기장을 생각하자
 ** 벡터 포텐셜 <math>\mathbf{A}(x,y,z,t)=(A_{x},A_{y},A_{z})</math>
 ** 스칼라 포텐셜 <math>\phi(x,y,z,t)</math>
 ** [[맥스웰 방정식]] 참조
-* [[슈뢰딩거 방정식]]은 다음과 같이 쓰여진다<br>  <math>i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} =\left[ \frac{1}{2m}(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2+e\phi \right]\psi</math><br>  <br>
+* [[슈뢰딩거 방정식]]은 다음과 같이 쓰여진다  <math>i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} =\left[ \frac{1}{2m}(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2+e\phi \right]\psi</math>
-<h5>파울리</h5>
+==파울리 방정식==
+* <math>\vec{\sigma}=(\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3})</math> 는 [[파울리 행렬]] 로 이루어진 벡터
+*  파울리는 위의 슈뢰딩거 방정식에서 <math>\mathbf{p}-e\mathbf{A}</math> 를 <math>\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A})</math> 로 바꾸어, 다음 방정식을 얻는다:<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle =\left[ \frac{1}{2m}(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2 + e \phi \right] |\psi\rangle </math>
+*  스핀 1/2 인 경우 성분을 나누어 다음과 같이 쓸 수 있다
+:<math>i\hbar \begin{pmatrix} \frac{\displaystyle \partial \psi_0 }{\displaystyle \partial t} \\[6pt] \frac{\displaystyle \partial \psi_1 }{\displaystyle \partial t} \end{pmatrix}=\left[ \frac{1}{2m} \left( \sum_{n=1}^3 \left(\sigma_n \left( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x_n} - e A_n\right)\right) \right) ^2 + e \phi \right]\begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{pmatrix}</math>
+==스핀과 자기장의 상호작용==
+*  파울리 방정식은 다음과 같이 나누어 이해할 수 있으며, 스핀과 자기장의 상호작용이 포함되게 된다
+:<math>\underbrace{i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\varphi_\pm\rangle = \left( \frac{( \mathbf{p} -e \mathbf A)^2}{2 m} + e \phi \right) \hat 1 \mathbf |\varphi_\pm\rangle }_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{e \hbar}{2m}\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf B \mathbf |\varphi_\pm\rangle }_\text{Stern Gerlach term}</math>
+* 이를 유도하기 위해서는 다음과 같은 결과가 필요하다
+* <math>(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})</math> (증명) 일반적으로  <math>(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{X})(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{Y})=\mathbf{X}\cdot \mathbf{Y}+i \vec{\sigma}\cdot (\mathbf{X}\times \mathbf{Y})</math> 이 성립한다. 연산자로서 <math>(\mathbf{p} \times \mathbf{A}+ \mathbf{A} \times \mathbf{p})\psi=\mathbf{p} \times (\mathbf{A} \psi)+ \mathbf{A} \times (\mathbf{p}\psi)=(\mathbf{p} \times \mathbf{A})\psi= -i\hbar \mathbf{B}\psi</math> (<math>\mathbf{p}\times \mathbf{A} = -i\hbar \nabla \times \mathbf{A}= -i\hbar \mathbf{B}</math>와 <math>\nabla \times (f\mathbf{A}) = f(\nabla \times \mathbf{A}) + (\nabla f) \times \mathbf{A}</math> 가 사용되었다)  즉 <math>(\mathbf{p} - e \mathbf{A}) \times (\mathbf{p} - e \mathbf{A}) = - e \mathbf{p} \times \mathbf{A}- e \mathbf{A} \times \mathbf{p} = e i\hbar \mathbf{B}</math> 따라서 <math>(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2+i \vec{\sigma}\cdot (e i\hbar \mathbf{B})=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})</math> ■
-* <math>\vec{\sigma}=(\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3})</math>
-*  파울리는 위의 슈뢰딩거 방정식에서 <math>\mathbf{p}-e\mathbf{A}</math> 를 <math>\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A})</math> 로 바꾸어, 다음 방정식을 얻는다<br><math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle =\left[ \frac{1}{2m}(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2 + e \phi \right] |\psi\rangle </math><br><math>i \hbar \begin{pmatrix} \frac{\displaystyle \partial \psi_0 }{\displaystyle \partial t} \\[6pt] \frac{\displaystyle \partial \psi_1 }{\displaystyle \partial t} \end{pmatrix} =\left[ \frac{1}{2m} \left( \sum_{n=1}^3 \left(\sigma_n \left( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x_n} - e A_n\right)\right) \right) ^2 + e \phi \right] \begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{pmatrix} </math><br>
-* <math>(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})</math><br> (증명)<br> 일반적으로  <math>(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{X})(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{Y})=\mathbf{X}\cdot \mathbf{Y}+i \vec{\sigma}\cdot (\mathbf{X}\times \mathbf{Y})</math> 이 성립한다.<br> 연산자로서 <math>(\mathbf{p} \times \mathbf{A}+ \mathbf{A} \times \mathbf{p})\psi=\mathbf{p} \times (\mathbf{A} \psi)+ \mathbf{A} \times (\mathbf{p}\psi)=(\mathbf{p} \times \mathbf{A})\psi= -i\hbar \mathbf{B}\psi</math><br> (<math>\mathbf{p}\times \mathbf{A} = -i\hbar \nabla \times \mathbf{A}= -i\hbar \mathbf{B}</math>와 <math>\nabla \times (f\mathbf{A}) = f(\nabla \times \mathbf{A}) + (\nabla f) \times \mathbf{A}</math> 가 사용되었다) <br> 즉 <math>(\mathbf{p} - e \mathbf{A}) \times (\mathbf{p} - e \mathbf{A}) = - e \mathbf{p} \times \mathbf{A}- e \mathbf{A} \times \mathbf{p} = e i\hbar \mathbf{B}</math><br> 따라서 <math>(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2+i \vec{\sigma}\cdot (e i\hbar \mathbf{B})=(\mathbf{p} - e \mathbf{A})^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})</math> ■<br>
-*  파울리 방정식은 다음과 같이 나누어 이해할 수 있으며, 스핀과 자기장의 상호작용이 포함되게 된다<br><math>\underbrace{i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\varphi_\pm\rangle = \left( \frac{( \bold{p} -e \bold A)^2}{2 m} + e \phi \right) \hat 1 \bold |\varphi_\pm\rangle }_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{e \hbar}{2m}\boldsymbol{\sigma} \cdot \bold B \bold |\varphi_\pm\rangle }_\text{Stern Gerlach term}</math><br>
 * http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=407424
-<h5>역사</h5>
+==역사==
 * 1927 파울리
 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+* [[수학사 연표]]
-<h5>메모</h5>
+==메모==
 * Hladik Spinors in Physics 4.2.2.
 * Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
-<h5>관련된 항목들</h5>
+==관련된 항목들==
 * [[디랙 방정식]]
 * [[미분연산자]]
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
+==수학용어번역==
-*  단어사전<br>
+*  단어사전
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-* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
+* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
+* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
 ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 * [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
 * [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
+* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
-<h5>사전 형태의 자료</h5>
+==사전 형태의 자료==
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
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 * [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
-<h5>리뷰논문, 에세이, 강의노트</h5>
+==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
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+==관련논문==
 * Wolfgang Pauli (1927) Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons Zeitschrift für Physik (43) 601-623
@@ 112번째 줄: / 117번째 줄: @@
 * http://dx.doi.org/
-<h5>관련도서</h5>
+[[분류:양자역학]]
+[[분류:수리물리학]]
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+* [{'LOWER': 'pauli'}, {'LEMMA': 'equation'}]