로저스-라마누잔 항등식

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• 로저스-라마누잔 연분수와 항등식

 

 

개요

• 모듈라 성질을 갖는 q-초기하급수(q-hypergeometric series) 의 중요한 예

 

 

로저스-라마누잔 항등식

\(G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots\)

 \(H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots\)

• Pochhammer 기호 참조 

\((a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})\)

• q-초기하급수(q-hypergeometric series) 의 틀에서 이해할 수 있다
  

 

 

세타함수 표현과 모듈라 성질

• 세타함수를 통한 표현
• \(G(q)=\frac{1}{(q)_{\infty}}\sum_{n\in \mathbb{Z}}(-1)^n q^{(5n^2+n)/2}\)
  \(H(q)=\frac{1}{(q)_{\infty}}\sum_{n\in \mathbb{Z}}(-1)^n q^{(5n^2+3n)/2}\)
  
• 로저스-라마누잔 함수는 약간의 수정을 통해 modularity를 가짐
  \(q^{-1/60}G(q) = q^{-1/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {q^{-1/60}}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}\)
  \(q^{11/60}H(q) =q^{11/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = q^{11/60}\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} \)
  
• 데데킨트 에타함수가 갖는 modularity와의 유사성
  \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
  

 

 

cusp에서의 변화

• \(q=e^{-t}\) 으로 두면 \(t\sim 0\) 일 때,
  \(H(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})+o(1)\)
  \(G(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})+o(1)\)
  
• [McIntosh1995] 참조
  
• 이로부터 다음을 알 수 있다
  \(t\to 0\) 일 때, \(q=e^{-t}\to 1\) 으로 두면
  \(\frac{H(1)}{G(1)} = \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}=\varphi-1=0.618\cdots\)
  

 

 

로저스-라마누잔 연분수

• 두 함수의 비는 아래와 같은 연분수 표현을 가진다
  \(\frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}\)
  
• 로저스-라마누잔 연분수  항목에서 다루기로 함

 

 

 

재미있는 사실

• 이 항등식은 통계물리의 Lee-Yang 모델과 밀접하게 관련되어 있음
• http://mathoverflow.net/questions/29117/what-is-the-relationship-between-modular-forms-and-the-rogers-ramanujan-identitie

 

 

관련된 항목들

• The modular group, j-invariant and the singular moduli
• 오차방정식과 정이십면체
• 초기하급수(Hypergeometric series)
• q-초기하급수(q-hypergeometric series)
• Dilogarithm 함수
• 연분수

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNmQ3NGMzZWMtZTg4OC00NjBlLTljNmUtOGExYjkyYjA3NDkx&sort=name&layout=list&num=50
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • A003114 Number of partitions of n into parts 5k+1 or 5k+4
  • A003106         Number of partitions of n into parts 5k+2 or 5k+3.

• Numbers, constants and computation

• 매스매티카 파일 목록

 

 

사전형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/연분수
• http://en.wikipedia.org/wiki/Rogers-Ramanujan_identities
• http://en.wikipedia.org/wiki/Rogers–Ramanujan_continued_fraction
• http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction
• http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss's_continued_fraction

 

 

관련도서 및 추천도서

• Number Theory in the Spirit of Ramanujan
  
  • Bruce C. Berndt
• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
• 도서검색
  
  • http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
  • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

 

 

관련논문

• Probabilities as Values of Modular Forms and Continued Fractions
  
  • Riad Masri and Ken Ono, 2009
• Continued fractions and modular functions
  
  • W. Duke, Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 137-162
• Ramanujan's "Lost Notebook" and the Virasoro Algebra
  
  • Antun Milas, Commun.Math.Phys. 251 (2004) 567-588
• Ramanujan’s formulas for the explicit evaluation of the Rogers–Ramanujan continued fraction and theta-functions
  
  • Soon-Yi Kang, ACTA ARITHMETICA XC.1 (1999)
• Ramanujan's Class Invariants With Applications To The Values Of q-Continued Fractions And Theta-Functions
  
  • Bruce C. Berndt ,  Heng Huat Chan ,  Liang-Cheng Zhang, 1997
• Explicit evaluations of the Rogers-Ramanujan continued fraction.
  
  • Berndt, B.C,Chan, H.H.,Zhang, L.-C., Journal für die reine und angewandte Mathematik 480, 1996
• [McIntosh1995]Some Asymptotic Formulae for q-Hypergeometric Series
  
  • Richard J. McIntosh, Journal of the London Mathematical Society 1995 51(1):120-136

• A Motivated Proof of the Rogers-Ramanujan Identities
  
  • George E. Andrews and R. J. Baxter, The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 5 (May, 1989), pp. 401-409

• Watson, G. N.
  
  • Theorems Stated by Ramanujan (IX): Two Continued Fractions., 1929
  • Theorems Stated by Ramanujan (VII): Theorems on a Continued Fraction., 1929

 

 

관련기사

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=라마누잔
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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