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* 두 함수의 비는 아래와 같은 연분수 표현을 가진다<br><math>\frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}</math><br> | * 두 함수의 비는 아래와 같은 연분수 표현을 가진다<br><math>\frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}</math><br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 14:24 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 모듈라 성질을 갖는 q-초기하급수(q-hypergeometric series) 의 중요한 예
로저스-라마누잔 항등식
\(G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots\)
\(H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots\)
\((a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})\)
- q-초기하급수(q-hypergeometric series) 의 틀에서 이해할 수 있다
세타함수 표현과 모듈라 성질
- 세타함수를 통한 표현
- \(G(q)=\frac{1}{(q)_{\infty}}\sum_{n\in \mathbb{Z}}(-1)^n q^{(5n^2+n)/2}\)
\(H(q)=\frac{1}{(q)_{\infty}}\sum_{n\in \mathbb{Z}}(-1)^n q^{(5n^2+3n)/2}\) - 로저스-라마누잔 함수는 약간의 수정을 통해 modularity를 가짐
\(q^{-1/60}G(q) = q^{-1/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {q^{-1/60}}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}\)
\(q^{11/60}H(q) =q^{11/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = q^{11/60}\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} \) - 데데킨트 에타함수가 갖는 modularity와의 유사성
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
cusp에서의 변화
- \(q=e^{-t}\) 으로 두면 \(t\sim 0\) 일 때,
\(H(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})+o(1)\)
\(G(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})+o(1)\) - [McIntosh1995] 참조
- 이로부터 다음을 알 수 있다
\(t\to 0\) 일 때, \(q=e^{-t}\to 1\) 으로 두면
\(\frac{H(1)}{G(1)} = \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}=\varphi-1=0.618\cdots\)
로저스-라마누잔 연분수
- 두 함수의 비는 아래와 같은 연분수 표현을 가진다
\(\frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}\) - 로저스-라마누잔 연분수 항목에서 다루기로 함
재미있는 사실
- 이 항등식은 통계물리의 Lee-Yang 모델과 밀접하게 관련되어 있음
- http://mathoverflow.net/questions/29117/what-is-the-relationship-between-modular-forms-and-the-rogers-ramanujan-identitie
관련된 항목들
- The modular group, j-invariant and the singular moduli
- 오차방정식과 정이십면체
- 초기하급수(Hypergeometric series)
- q-초기하급수(q-hypergeometric series)
- Dilogarithm 함수
- 연분수
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNmQ3NGMzZWMtZTg4OC00NjBlLTljNmUtOGExYjkyYjA3NDkx&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
사전형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/연분수
- http://en.wikipedia.org/wiki/Rogers-Ramanujan_identities
- http://en.wikipedia.org/wiki/Rogers–Ramanujan_continued_fraction
- http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss's_continued_fraction
관련도서 및 추천도서
- Number Theory in the Spirit of Ramanujan
- Bruce C. Berndt
- 도서내검색
- 도서검색
관련논문
- Probabilities as Values of Modular Forms and Continued Fractions
- Riad Masri and Ken Ono, 2009
- Continued fractions and modular functions
- W. Duke, Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 137-162
- Ramanujan's "Lost Notebook" and the Virasoro Algebra
- Antun Milas, Commun.Math.Phys. 251 (2004) 567-588
- Ramanujan’s formulas for the explicit evaluation of the Rogers–Ramanujan continued fraction and theta-functions
- Soon-Yi Kang, ACTA ARITHMETICA XC.1 (1999)
- Ramanujan's Class Invariants With Applications To The Values Of q-Continued Fractions And Theta-Functions
- Bruce C. Berndt , Heng Huat Chan , Liang-Cheng Zhang, 1997
- Explicit evaluations of the Rogers-Ramanujan continued fraction.
- Berndt, B.C,Chan, H.H.,Zhang, L.-C., Journal für die reine und angewandte Mathematik 480, 1996
- [McIntosh1995]Some Asymptotic Formulae for q-Hypergeometric Series
- Richard J. McIntosh, Journal of the London Mathematical Society 1995 51(1):120-136
- A Motivated Proof of the Rogers-Ramanujan Identities
- George E. Andrews and R. J. Baxter, The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 5 (May, 1989), pp. 401-409
- Watson, G. N.
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=라마누잔
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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