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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소== |
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* 팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장하는 함수이다. | * 팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장하는 함수이다. | ||
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* 실수부가 <math>\Re s>0</math>인 복소수 <math>s>0</math>에 대하여 다음과 같이 정의<br><math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math><br> | * 실수부가 <math>\Re s>0</math>인 복소수 <math>s>0</math>에 대하여 다음과 같이 정의<br><math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math><br> | ||
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| − | ==해석적확장 | + | ==해석적확장== |
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* <math>-4<s<4</math>의 범위에서 다음과 같은 그래프를 가짐<br>[/pages/3197800/attachments/3140461 gamma.jpg]<br> | * <math>-4<s<4</math>의 범위에서 다음과 같은 그래프를 가짐<br>[/pages/3197800/attachments/3140461 gamma.jpg]<br> | ||
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| − | ==무한곱표현 | + | ==무한곱표현== |
<math>\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}</math> | <math>\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}</math> | ||
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* <math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math> | * <math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math> | ||
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* 이항<br><math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!</math><br><math>2^{2z}\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{\pi}\;\Gamma(2z)</math><br> | * 이항<br><math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!</math><br><math>2^{2z}\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{\pi}\;\Gamma(2z)</math><br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">적분표현 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">적분표현== |
* Binet's second expression<br><math>\operatorname{Re} z > 0 </math> 일 때, <math>\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt</math><br>http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고<br> | * Binet's second expression<br><math>\operatorname{Re} z > 0 </math> 일 때, <math>\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt</math><br>http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">Hurwitz 제타함수와의 관계 | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">Hurwitz 제타함수와의 관계== |
* 적당한 상수 R이 존재하여 <math>\Gamma(a)=R{e^{\zeta'(0,a)}}</math><br> | * 적당한 상수 R이 존재하여 <math>\Gamma(a)=R{e^{\zeta'(0,a)}}</math><br> | ||
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| − | ==쿰머의 푸리에 급수 | + | ==쿰머의 푸리에 급수== |
* [[로그감마 함수]]의 푸리에 급수<br><math>\begin{eqnarray}\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \\ =(\frac{1}{2}-x)(\gamma+\log 2)+(1-x)\log \pi -\frac{1}{2}\log(\sin\pi x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \end{eqnarray} </math><br> | * [[로그감마 함수]]의 푸리에 급수<br><math>\begin{eqnarray}\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \\ =(\frac{1}{2}-x)(\gamma+\log 2)+(1-x)\log \pi -\frac{1}{2}\log(\sin\pi x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \end{eqnarray} </math><br> | ||
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| − | ==테일러 급수 | + | ==테일러 급수== |
* [[로그감마 함수]]의 테일러 급수<br><math>\log\Gamma(1+x) =-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k \frac{\zeta(k)}{k}x^k</math><br> | * [[로그감마 함수]]의 테일러 급수<br><math>\log\Gamma(1+x) =-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k \frac{\zeta(k)}{k}x^k</math><br> | ||
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| − | ==Digamma 함수 | + | ==Digamma 함수== |
* 감마함수의 로그미분으로 정의 | * 감마함수의 로그미분으로 정의 | ||
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| − | ==오일러 베타적분 | + | ==오일러 베타적분== |
<math>B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math> | <math>B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math> | ||
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| − | ==감마함수와 초월수 | + | ==감마함수와 초월수== |
* 감마함수의 유리수에서의 값이 초월수인지의 문제. | * 감마함수의 유리수에서의 값이 초월수인지의 문제. | ||
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* [http://www.luschny.de/math/factorial/history.html The birth of the real factorial function] | * [http://www.luschny.de/math/factorial/history.html The birth of the real factorial function] | ||
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| − | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스 | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== |
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZmM5YWZjMzAtZmVjNS00OWUxLWJhZGUtMzMwN2Q4YmI5ZTIz&sort=name&layout=list&num=50 | * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZmM5YWZjMzAtZmVjNS00OWUxLWJhZGUtMzMwN2Q4YmI5ZTIz&sort=name&layout=list&num=50 | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전형태의 자료 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전형태의 자료== |
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B0%90%EB%A7%88%ED%95%A8%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/감마함수] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B0%90%EB%A7%88%ED%95%A8%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/감마함수] | ||
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| − | ==관련도서 | + | ==관련도서== |
* The Gamma Function<br> | * The Gamma Function<br> | ||
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| − | ==관련논문 | + | ==관련논문== |
* Dutka, Jacques. 1991. “The early history of the factorial function.” <em>Archive for History of Exact Sciences</em> 43 (3): 225-249. doi:[http://dx.doi.org/10.1007/BF00389433 10.1007/BF00389433].<br> | * Dutka, Jacques. 1991. “The early history of the factorial function.” <em>Archive for History of Exact Sciences</em> 43 (3): 225-249. doi:[http://dx.doi.org/10.1007/BF00389433 10.1007/BF00389433].<br> | ||
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| − | ==블로그 | + | ==블로그== |
* http://twistedone151.wordpress.com/2008/05/26/monday-math-21-the-gamma-function-part-4/ | * http://twistedone151.wordpress.com/2008/05/26/monday-math-21-the-gamma-function-part-4/ | ||
* 구글 블로그 검색 [http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=%EA%B0%90%EB%A7%88%ED%95%A8%EC%88%98 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=감마함수] | * 구글 블로그 검색 [http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=%EA%B0%90%EB%A7%88%ED%95%A8%EC%88%98 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=감마함수] | ||
2012년 11월 1일 (목) 10:33 판
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개요
- 팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장하는 함수이다.
- 라그랑주(Lagrange)가 이 함수를 나타내기 위해 처음으로 그리스 대문자 감마(Γ)를 사용하였으며, 그 이후로 정식 표기로 굳어짐.
- 자연수에 대해 팩토리얼과 같은 값을 가지면서 s > 0 일때 logΓ(s) 가 convex 하게 하는 유일한 함수이다.
- 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다
\(\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\)
\(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)
\(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)\)
- 대수다양체의 periods 를 표현하는데 등장하며, \(s\)가 유리수일때의 감마함수의 값이 초월수인지, 그리고 그 값들 사이의 대수적 관계에 대한 문제는 중요 미해결 문제
정의
- 실수부가 \(\Re s>0\)인 복소수 \(s>0\)에 대하여 다음과 같이 정의
\(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)
- \(\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\)
- 자연수 \(n\)에 대하여 \(\Gamma(n)=(n-1)!\)
- 가우스의 정의
\(\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} \)
해석적확장
- 해석적확장(analytic continuation)
- \(\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\)를 이용하여, 복소평면전체에서 정의된 meromorphic 함수로 이해가능
- \(s=0,-1,-2\cdots\)에서 폴(pole)을 가진다
함수의 그래프
- \(-4<s<4\)의 범위에서 다음과 같은 그래프를 가짐
[/pages/3197800/attachments/3140461 gamma.jpg]
- \(s>0\)일 때, \(\ln \Gamma(s)\)의 그래프
[/pages/3197800/attachments/3140463 logofgamma.jpg]
무한곱표현
\(\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}\)
반사공식
- \(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)
(증명)
\(\sin{\pi x} = x \prod _{n=1}^{\infty } \left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)\) 과 \(\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}\) 를 써서 증명된다. ■
\(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)
- 일반적으로
\(\Gamma(n+\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\)
(증명)
\(\Gamma(n+\frac{1}{2})=\Gamma(\frac{2n+1}{2})=(\frac{2n-1}{2})\Gamma(\frac{2n-1}{2})=(\frac{2n-1}{2})(\frac{2n-3}{2})\Gamma(\frac{2n-3}{2})=(\frac{2n-1}{2})\cdots(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{2n-1}{2}\sqrt{\pi}=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\)■
곱셈공식
- 이항
\(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!\)
\(2^{2z}\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{\pi}\;\Gamma(2z)\)
- 일반화
\(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)\)
적분표현==
- Binet's second expression
\(\operatorname{Re} z > 0 \) 일 때, \(\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt\)
http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고
Hurwitz 제타함수와의 관계==
- 적당한 상수 R이 존재하여 \(\Gamma(a)=R{e^{\zeta'(0,a)}}\)
- 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function) 참조
쿰머의 푸리에 급수
- 로그감마 함수의 푸리에 급수
\(\begin{eqnarray}\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \\ =(\frac{1}{2}-x)(\gamma+\log 2)+(1-x)\log \pi -\frac{1}{2}\log(\sin\pi x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \end{eqnarray} \)
테일러 급수
- 로그감마 함수의 테일러 급수
\(\log\Gamma(1+x) =-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k \frac{\zeta(k)}{k}x^k\)
Digamma 함수
- 감마함수의 로그미분으로 정의
\(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)
- 자세한 사실은 Digamma 함수 항목 참조.
오일러 베타적분
\(B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)
- 오일러 베타적분 항목 참조
감마함수와 초월수
- 감마함수의 유리수에서의 값이 초월수인지의 문제.
- 다음 경우가 초월수 임이 알려져 있다
\(\Gamma(\frac{1}{3})\), \(\Gamma(\frac{2}{3})\), \(\Gamma(\frac{1}{4})\), \(\Gamma(\frac{3}{4})\), \(\Gamma(\frac{1}{6})\), \(\Gamma(\frac{5}{6})\)
- 미해결 문제. 다음은 초월수인가?
\(\Gamma(\frac{1}{5})\)
- 무리수와 초월수 항목 참조
하위페이지
역사
- The birth of the real factorial function
- http://mathoverflow.net/questions/9746/who-invented-the-gamma-function
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZmM5YWZjMzAtZmVjNS00OWUxLWJhZGUtMzMwN2Q4YmI5ZTIz&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
사전형태의 자료==
- http://ko.wikipedia.org/wiki/감마함수
- http://en.wikipedia.org/wiki/gamma_function
- [1]http://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Gamma_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr–Mollerup_theorem
- http://mathworld.wolfram.com/BinetsLogGammaFormulas.html
관련도서
- The Gamma Function
- Emil Artin
관련논문
- Dutka, Jacques. 1991. “The early history of the factorial function.” Archive for History of Exact Sciences 43 (3): 225-249. doi:10.1007/BF00389433.
- The Gamma Function and the Hurwitz Zeta-Function
- Bruce C. Berndt, The American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 2 (Feb., 1985), pp. 126-130
- Algebraic independence of the values of elliptic function at algebraic points
- G. Chudnovsky, Inventiones Mathematicae, Volume 61, Number 3 / 1980년 10월
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=gamma+function
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/10.1007/BF00389433
블로그
\(\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\)
\(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)
\(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)\)
\(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)
\(\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} \)
[/pages/3197800/attachments/3140461 gamma.jpg]
[/pages/3197800/attachments/3140463 logofgamma.jpg]
\(\Gamma(n+\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\)
(증명)
\(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!\)
\(2^{2z}\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{\pi}\;\Gamma(2z)\)
\(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)\)
- Binet's second expression
\(\operatorname{Re} z > 0 \) 일 때, \(\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt\)
http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고
Hurwitz 제타함수와의 관계==
- 적당한 상수 R이 존재하여 \(\Gamma(a)=R{e^{\zeta'(0,a)}}\)
- 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function) 참조
쿰머의 푸리에 급수
- 로그감마 함수의 푸리에 급수
\(\begin{eqnarray}\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \\ =(\frac{1}{2}-x)(\gamma+\log 2)+(1-x)\log \pi -\frac{1}{2}\log(\sin\pi x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \end{eqnarray} \)
테일러 급수
- 로그감마 함수의 테일러 급수
\(\log\Gamma(1+x) =-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k \frac{\zeta(k)}{k}x^k\)
Digamma 함수
- 감마함수의 로그미분으로 정의
\(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)
- 자세한 사실은 Digamma 함수 항목 참조.
오일러 베타적분
\(B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)
- 오일러 베타적분 항목 참조
감마함수와 초월수
- 감마함수의 유리수에서의 값이 초월수인지의 문제.
- 다음 경우가 초월수 임이 알려져 있다
\(\Gamma(\frac{1}{3})\), \(\Gamma(\frac{2}{3})\), \(\Gamma(\frac{1}{4})\), \(\Gamma(\frac{3}{4})\), \(\Gamma(\frac{1}{6})\), \(\Gamma(\frac{5}{6})\) - 미해결 문제. 다음은 초월수인가?
\(\Gamma(\frac{1}{5})\) - 무리수와 초월수 항목 참조
하위페이지
역사
- The birth of the real factorial function
- http://mathoverflow.net/questions/9746/who-invented-the-gamma-function
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZmM5YWZjMzAtZmVjNS00OWUxLWJhZGUtMzMwN2Q4YmI5ZTIz&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
사전형태의 자료==
- http://ko.wikipedia.org/wiki/감마함수
- http://en.wikipedia.org/wiki/gamma_function
- [1]http://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Gamma_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr–Mollerup_theorem
- http://mathworld.wolfram.com/BinetsLogGammaFormulas.html
관련도서
- The Gamma Function
- Emil Artin
관련논문
- Dutka, Jacques. 1991. “The early history of the factorial function.” Archive for History of Exact Sciences 43 (3): 225-249. doi:10.1007/BF00389433.
- The Gamma Function and the Hurwitz Zeta-Function
- Bruce C. Berndt, The American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 2 (Feb., 1985), pp. 126-130
- Algebraic independence of the values of elliptic function at algebraic points
- G. Chudnovsky, Inventiones Mathematicae, Volume 61, Number 3 / 1980년 10월
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=gamma+function
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/10.1007/BF00389433
블로그
- Emil Artin
- Bruce C. Berndt, The American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 2 (Feb., 1985), pp. 126-130
- G. Chudnovsky, Inventiones Mathematicae, Volume 61, Number 3 / 1980년 10월