리만 제타 함수

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개요

• 다음과 같은 급수로 복소함수를 정의
  \(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\), \(\mathfrak{R}(s)>1\)
  
• 이렇게 실수부가 1보다 큰 복소수 영역에서 급수로 정의된 함수를 해석적확장을 통해, 복소평면 전체에서 정의된 함수를 정의할 수 있음.
• 그렇게 복소수 전체에서 정의된 함수를 리만의 제타함수라고 부름.
• 리만가설은 리만제타함수의 해에 관련된 미해결문제.
• 정수론에서 소수의 분포와 관련한 정보를 담고 있는 중요한 함수
• 이 함수를 이해하는 좀더 일반적인 이론적 틀에 대해서는 L-함수, 제타함수와 디리클레 급수 항목을 참조

 

 

해석적확장 (analytic continuation)

• 자코비 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.
  \(\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}\)
  

• 감마함수
  \(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)
  를 이용하면, 
  \(\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}\)
  
• 형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.

\(\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

• 그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같이 수정하여, 적분이 모든 s에 대하여 정의되도록 함.

\(\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

여기서는 자코비 세타함수의 성질

\(\theta({iy)=\frac{1}{\sqrt{y}}\theta(\frac{i}{y})\)

이 사용됨.

 

 

리만제타함수의 함수방정식

• 리만제타함수는 \(s=\frac{1}{2}\) 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.
  \(\xi(s) = \xi(1 - s)\) 즉,
  \(\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\)
  

(증명)

자코비 세타함수의 모듈라 성질을 사용하면,

\(\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}\)

이므로, \(\xi(s)\) 의 정의를 이용하면,

\(\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

를 얻는다.

이 식에서 \(s \leftrightarrow 1-s\) 는 우변을 변화시키지 않음므로 함수방정식 \(\xi(s) = \xi(1 - s)\)을 얻는다.

(증명끝)

 

 

복소함수로서의 리만제타함수

• meromorphic function
• 1에서 pole 을 가지며 로랑급수 전개는 다음과 같다
  \(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))\)
  더 정확히는
  \(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n\)
  \(\gamma_n\)은 스틸체스 상수
  

 

리만가설

• 리만가설

 

 

제타values

• ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
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메모

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  • 정수에서의 리만제타함수의 값
    

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 복소함수론
  
  • 해석적연속
• 해석적정수론

 

 

관련된 항목들

• 세타함수
• 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
• 디리클레 급수

 

 

수학용어번역

• analytic continuation     해석적 접속
  
  • 해석적확장으로 하는게 적당해 보임
• continuation     연속
• continuation method     연속법
• direct analytic continuation     직접해석접속

• 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

표준적인 도서 및 추천도서

• Riemann's Zeta Function
  
  • Harold M. Edwards

 

관련논문과 에세이

• Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis
  
  • P Sarnak, 2004

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
• http://ko.wikipedia.org/wiki/리만제타함수

 

관련링크와 웹페이지

• http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/

 

블로그

• Riemann's zeta function
  
  • Williams, Floyd
  • June 16, 2008
  • MSRI 'A Window into Zeta and Modular Physics'워크샵
  • 리만제타함수의 해석적 연속 및 함수방정식에 대한 내용을 담고 있는 강의
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  • 리만의 제타함수 (1)
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