"리만 제타 함수"의 두 판 사이의 차이

2013년 1월 12일 (토) 09:35 판

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개요

다음과 같은 급수로 복소함수를 정의\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\], \(\mathfrak{R}(s)>1\)
이렇게 실수부가 1보다 큰 복소수 영역에서 급수로 정의된 함수를 해석적확장을 통해, 복소평면 전체에서 정의된 함수를 정의할 수 있음.
그렇게 복소수 전체에서 정의된 함수를 리만의 제타함수라고 부름.
리만가설은 리만제타함수의 해에 관련된 미해결문제.
정수론에서 소수의 분포와 관련한 정보를 담고 있는 중요한 함수
이 함수를 이해하는 좀더 일반적인 이론적 틀에 대해서는 L-함수, 제타함수와 디리클레 급수 항목을 참조

해석적확장 (analytic continuation)

자코비 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.\[\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}\]

감마함수\[\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\]
를 이용하면, \[\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}\]
형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.

\(\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같이 수정하여, 적분이 모든 s에 대하여 정의되도록 함.

\(\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

여기서는 자코비 세타함수의 성질

\(\theta(iy)=\frac{1}{\sqrt{y}}\theta(\frac{i}{y})\)

이 사용됨.

http://people.reed.edu/~jerry/311/zeta.pdf analytic continuation

리만제타함수의 함수방정식

리만제타함수는 \(s=\frac{1}{2}\) 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.\[\xi(s) = \xi(1 - s)\] 즉,\[\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\]

(증명)

자코비 세타함수의 모듈라 성질을 사용하면,

\(\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}\)

이므로, \(\xi(s)\) 의 정의를 이용하면,

\(\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)

를 얻는다.

이 식에서 \(s \leftrightarrow 1-s\) 는 우변을 변화시키지 않음므로 함수방정식 \(\xi(s) = \xi(1 - s)\)을 얻는다.

(증명끝)

복소함수로서의 리만제타함수

meromorphic function
1에서 pole 을 가지며 로랑급수 전개는 다음과 같다\[\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))\]
더 정확히는\[\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n\]\[\gamma_n\]은 스틸체스 상수

리만가설

리만가설

제타values

메모

하위페이지

리만제타함수

수학용어번역

analytic continuation 해석적 접속
- 해석적확장으로 하는게 적당해 보임
continuation 연속
continuation method 연속법
direct analytic continuation 직접해석접속

표준적인 도서 및 추천도서

Harold M. Edwards Riemann's Zeta Function

사전형태의 자료

블로그

Riemann's zeta function
- Williams, Floyd, June 16, 2008, MSRI 'A Window into Zeta and Modular Physics'워크샵
- 리만제타함수의 해석적 연속 및 함수방정식에 대한 내용을 담고 있는 강의
피타고라스의 창

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 ==개요==
-*  다음과 같은 급수로 복소함수를 정의<br><math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math>, <math>\mathfrak{R}(s)>1</math><br>
+*  다음과 같은 급수로 복소함수를 정의:<math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math>, <math>\mathfrak{R}(s)>1</math><br>
 * 이렇게 실수부가 1보다 큰 [[복소수]] 영역에서 급수로 정의된 함수를 해석적확장을 통해, 복소평면 전체에서 정의된 함수를 정의할 수 있음.
 * 그렇게 복소수 전체에서 정의된 함수를 리만의 제타함수라고 부름.
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 ==해석적확장 (analytic continuation)==
-* [[자코비 세타함수]]를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.<br><math>\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}</math><br>
+* [[자코비 세타함수]]를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.:<math>\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}</math><br>
-* [[감마함수]]<br><math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math><br> 를 이용하면, <br><math>\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}</math><br>
+* [[감마함수]]:<math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math><br> 를 이용하면, :<math>\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}</math><br>
 * 형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.
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 ==리만제타함수의 함수방정식==
-*  리만제타함수는 <math>s=\frac{1}{2}</math> 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.<br><math>\xi(s) = \xi(1 - s)</math> 즉,<br><math>\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)</math><br>
+*  리만제타함수는 <math>s=\frac{1}{2}</math> 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.:<math>\xi(s) = \xi(1 - s)</math> 즉,:<math>\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)</math><br>
 (증명)
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 * meromorphic function
-*  1에서 pole 을 가지며 로랑급수 전개는 다음과 같다<br><math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))</math><br> 더 정확히는<br><math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n</math><br><math>\gamma_n</math>은 스틸체스 상수<br>
+*  1에서 pole 을 가지며 로랑급수 전개는 다음과 같다:<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))</math><br> 더 정확히는:<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n</math>:<math>\gamma_n</math>은 스틸체스 상수<br>