"감마함수"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
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* 팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장하는 함수이다.
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* 팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장하는 함수이다.
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* 라그랑주(Lagrange)가 이 함수를 나타내기 위해 처음으로 그리스 대문자 감마(Γ)를 사용하였으며, 그 이후로 정식 표기로 굳어짐.
 
 
* 자연수에 대해 팩토리얼과 같은 값을 가지면서 s > 0 일때 logΓ(s) 가 convex 하게 하는 유일한 함수이다.
 
* 자연수에 대해 팩토리얼과 같은 값을 가지면서 s > 0 일때 logΓ(s) 가 convex 하게 하는 유일한 함수이다.
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*  다음과 같은 중요한 성질을 갖는다:<math>\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)</math>:<math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math>:<math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)</math><br>
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*  다음과 같은 중요한 성질을 갖는다:<math>\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)</math>:<math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math>:<math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)</math>
 
* 대수다양체의 [[periods]] 를 표현하는데 등장하며, <math>s</math>가 유리수일때의 감마함수의 값이 초월수인지, 그리고 그 값들 사이의 대수적 관계에 대한 문제는 중요 미해결 문제
 
* 대수다양체의 [[periods]] 를 표현하는데 등장하며, <math>s</math>가 유리수일때의 감마함수의 값이 초월수인지, 그리고 그 값들 사이의 대수적 관계에 대한 문제는 중요 미해결 문제
  
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==정의==
 
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*  실수부가 <math>\Re s>0</math>인 복소수 <math>s>0</math>에 대하여 다음과 같이 정의:<math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math><br>
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*  실수부가 <math>\Re s>0</math>인 복소수 <math>s>0</math>에 대하여 다음과 같이 정의:<math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math>
 
* <math>\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)</math>
 
* <math>\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)</math>
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* 자연수 <math>n</math>에 대하여 <math>\Gamma(n)=(n-1)!</math>
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* 자연수 <math>n</math>에 대하여 <math>\Gamma(n)=(n-1)!</math>
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*  가우스의 정의:<math>\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} </math><br>
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*  가우스의 정의:<math>\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} </math>
  
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==해석적확장==
 
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* <math>s=0,-1,-2\cdots</math>에서 폴(pole)을 가진다
 
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==함수의 그래프==
 
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:<math>\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}</math>
 
:<math>\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}</math>
  
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==반사공식==
 
==반사공식==
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:<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math>
 
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* 일반적으로 :<math>\Gamma(n+\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}</math><br>  
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* 일반적으로 :<math>\Gamma(n+\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}</math>  
 
(증명)
 
(증명)
 
:<math>\Gamma(n+\frac{1}{2})=\Gamma(\frac{2n+1}{2})=(\frac{2n-1}{2})\Gamma(\frac{2n-1}{2})=(\frac{2n-1}{2})(\frac{2n-3}{2})\Gamma(\frac{2n-3}{2})=(\frac{2n-1}{2})\cdots(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{2n-1}{2}\sqrt{\pi}=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}</math>■
 
:<math>\Gamma(n+\frac{1}{2})=\Gamma(\frac{2n+1}{2})=(\frac{2n-1}{2})\Gamma(\frac{2n-1}{2})=(\frac{2n-1}{2})(\frac{2n-3}{2})\Gamma(\frac{2n-3}{2})=(\frac{2n-1}{2})\cdots(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{2n-1}{2}\sqrt{\pi}=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}</math>■
  
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==곱셈공식==
 
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*  이항
 
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:<math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!</math>:<math>2^{2z}\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{\pi}\;\Gamma(2z)</math><br>
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*  일반화:<math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)</math><br>
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*  일반화:<math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)</math>
  
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==적분표현==
 
==적분표현==
  
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* Binet's second expression:<math>\operatorname{Re} z > 0 </math> 일 때, <math>\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt</math><br>http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고<br>
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* Binet's second expression
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* <math>\operatorname{Re} z > 0 </math> 일 때,  
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:<math>\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt</math>
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* http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고
  
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==Hurwitz 제타함수와의 관계==
 
==Hurwitz 제타함수와의 관계==
  
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*  적당한 상수 R이 존재하여 <math>\Gamma(a)=R{e^{\zeta'(0,a)}}</math><br>
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*  적당한 상수 R이 존재하여 <math>\Gamma(a)=R{e^{\zeta'(0,a)}}</math>
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* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]] 참조<br>
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* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]] 참조
  
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==쿰머의 푸리에 급수==
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==쿰머의 푸리에 급수==
  
 
* [[로그감마 함수]]의 푸리에 급수
 
* [[로그감마 함수]]의 푸리에 급수
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:<math>\begin{eqnarray}\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \\ =(\frac{1}{2}-x)(\gamma+\log 2)+(1-x)\log \pi -\frac{1}{2}\log(\sin\pi x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber  \end{eqnarray} </math><br>
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:<math>\begin{eqnarray}\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \\ =(\frac{1}{2}-x)(\gamma+\log 2)+(1-x)\log \pi -\frac{1}{2}\log(\sin\pi x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber  \end{eqnarray} </math>
  
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==테일러 급수==
 
==테일러 급수==
  
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* [[로그감마 함수]]의 테일러 급수:<math>\log\Gamma(1+x) =-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k \frac{\zeta(k)}{k}x^k</math><br>
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* [[로그감마 함수]]의 테일러 급수:<math>\log\Gamma(1+x) =-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k \frac{\zeta(k)}{k}x^k</math>
  
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==Digamma  함수==
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==다이감마 함수==
  
 
* 감마함수의 로그미분으로 정의
 
* 감마함수의 로그미분으로 정의
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:<math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>
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<math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>
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* 자세한 사실은 [[다이감마 함수(digamma function)]] 항목 참조.
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* 자세한 사실은 [[다이감마 함수(digamma function)|Digamma 함수]] 항목 참조.
 
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==오일러 베타적분==
 
==오일러 베타적분==
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* [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]] 항목 참조
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:<math>B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math>
  
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<math>B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math>
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==감마함수와 초월수==
 
==감마함수와 초월수==
  
 
* 감마함수의 유리수에서의 값이 초월수인지의 문제.
 
* 감마함수의 유리수에서의 값이 초월수인지의 문제.
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* 다음 경우가 초월수 임이 알려져 있다:<math>\Gamma(\frac{1}{3})</math>, <math>\Gamma(\frac{2}{3})</math>, <math>\Gamma(\frac{1}{4})</math>, <math>\Gamma(\frac{3}{4})</math>, <math>\Gamma(\frac{1}{6})</math>, <math>\Gamma(\frac{5}{6})</math><br>
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* 다음 경우가 초월수 임이 알려져 있다
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* 미해결 문제. 다음은 초월수인가?:<math>\Gamma(\frac{1}{5})</math><br>
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:<math>\Gamma(\frac{1}{3}),\Gamma(\frac{2}{3}),\Gamma(\frac{1}{4}),\Gamma(\frac{3}{4}),\Gamma(\frac{1}{6}),\Gamma(\frac{5}{6})</math>
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* [[무리수와 초월수]] 항목 참조
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* 미해결 문제. 다음은 초월수인가?
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* http://twistedone151.wordpress.com/2008/05/26/monday-math-21-the-gamma-function-part-4/
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==역사==
 
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* 1811년 르장드르가 팩토리얼의 확장을 나타내기 위하여 $\Gamma$ 기호를 도입
 
* [http://www.luschny.de/math/factorial/history.html The birth of the real factorial function]
 
* [http://www.luschny.de/math/factorial/history.html The birth of the real factorial function]
 
* http://mathoverflow.net/questions/9746/who-invented-the-gamma-function
 
* http://mathoverflow.net/questions/9746/who-invented-the-gamma-function
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* http://mathoverflow.net/questions/156495/why-does-the-gamma-function-use-the-symbol-gamma
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[오일러 베타적분(베타함수)|베타적분]]
  
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* [[감마곱 (Gamma Products)]]
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* [[다이감마 함수(digamma function)]]
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* [[더블감마함수와 Barnes G-함수]]
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* [[로그감마 함수]]
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* [[멀티 감마함수(multiple gamma function)]]
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* [[트리감마 함수(trigamma function)]]
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* [[폴리감마함수(polygamma functions)]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
  
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==사전형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/감마함수
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/감마함수
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* http://mathworld.wolfram.com/BinetsLogGammaFormulas.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/BinetsLogGammaFormulas.html
  
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==관련도서==
 
==관련도서==
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* Emil Artin, The Gamma Function
 
* Emil Artin, The Gamma Function
  
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==관련논문==
 
==관련논문==
  
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*  Dutka, Jacques. 1991. “The early history of the factorial function.” <em>Archive for History of Exact Sciences</em> 43 (3): 225-249. doi:[http://dx.doi.org/10.1007/BF00389433 10.1007/BF00389433].<br>
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*  Dutka, Jacques. 1991. “The early history of the factorial function.” <em>Archive for History of Exact Sciences</em> 43 (3): 225-249. doi:[http://dx.doi.org/10.1007/BF00389433 10.1007/BF00389433].
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* [http://www.jstor.org/stable/2322640 The Gamma Function and the Hurwitz Zeta-Function]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2322640 The Gamma Function and the Hurwitz Zeta-Function]
 
** Bruce C. Berndt, The American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 2 (Feb., 1985), pp. 126-130
 
** Bruce C. Berndt, The American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 2 (Feb., 1985), pp. 126-130
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* [http://dx.doi.org/10.1007/BF01390068 Algebraic independence of the values of elliptic function at algebraic points]<br>
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* [http://dx.doi.org/10.1007/BF01390068 Algebraic independence of the values of elliptic function at algebraic points]
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**  G. Chudnovsky, Inventiones Mathematicae, Volume 61, Number 3 / 1980년 10월<br>
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**  G. Chudnovsky, Inventiones Mathematicae, Volume 61, Number 3 / 1980년 10월
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==블로그==
 
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* http://twistedone151.wordpress.com/2008/05/26/monday-math-21-the-gamma-function-part-4/
 

2014년 2월 2일 (일) 16:09 판

개요

  • 팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장하는 함수이다.
  • 자연수에 대해 팩토리얼과 같은 값을 가지면서 s > 0 일때 logΓ(s) 가 convex 하게 하는 유일한 함수이다.
  • 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다\[\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\]\[\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\]\[\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)\]
  • 대수다양체의 periods 를 표현하는데 등장하며, \(s\)가 유리수일때의 감마함수의 값이 초월수인지, 그리고 그 값들 사이의 대수적 관계에 대한 문제는 중요 미해결 문제



정의

  • 실수부가 \(\Re s>0\)인 복소수 \(s>0\)에 대하여 다음과 같이 정의\[\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\]
  • \(\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\)
  • 자연수 \(n\)에 대하여 \(\Gamma(n)=(n-1)!\)
  • 가우스의 정의\[\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} \]



해석적확장

  • 해석적확장(analytic continuation)
  • \(\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\)를 이용하여, 복소평면전체에서 정의된 meromorphic 함수로 이해가능
  • \(s=0,-1,-2\cdots\)에서 폴(pole)을 가진다



함수의 그래프

  • \(-4<s<4\)의 범위에서 다음과 같은 그래프를 가짐

3197800-gamma.jpg

  • \(s>0\)일 때, \(\ln \Gamma(s)\)의 그래프

3197800-logofgamma.jpg




무한곱표현

  • 바이어슈트라스 무한곱

\[\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}\]



반사공식

  • \(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)

(증명)

삼각함수의 무한곱 표현 \[\sin{\pi x} = \pi x \prod _{n=1}^{\infty } \left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)\] 과 \[\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}\] 를 써서 증명된다. ■

  • 다음 계산을 얻는다

\[\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\]

  • 일반적으로 \[\Gamma(n+\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\]

(증명) \[\Gamma(n+\frac{1}{2})=\Gamma(\frac{2n+1}{2})=(\frac{2n-1}{2})\Gamma(\frac{2n-1}{2})=(\frac{2n-1}{2})(\frac{2n-3}{2})\Gamma(\frac{2n-3}{2})=(\frac{2n-1}{2})\cdots(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{2n-1}{2}\sqrt{\pi}=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\]■



곱셈공식

  • 이항

\[\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!\]\[2^{2z}\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{\pi}\;\Gamma(2z)\]

  • 일반화\[\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)\]



적분표현

  • Binet's second expression
  • \(\operatorname{Re} z > 0 \) 일 때,

\[\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt\]



Hurwitz 제타함수와의 관계



쿰머의 푸리에 급수

\[\begin{eqnarray}\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \\ =(\frac{1}{2}-x)(\gamma+\log 2)+(1-x)\log \pi -\frac{1}{2}\log(\sin\pi x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \end{eqnarray} \]



테일러 급수

  • 로그감마 함수의 테일러 급수\[\log\Gamma(1+x) =-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k \frac{\zeta(k)}{k}x^k\]



다이감마 함수

  • 감마함수의 로그미분으로 정의

\[\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\]


오일러 베타적분

\[B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\]


감마함수와 초월수

  • 감마함수의 유리수에서의 값이 초월수인지의 문제.
  • 다음 경우가 초월수 임이 알려져 있다

\[\Gamma(\frac{1}{3}),\Gamma(\frac{2}{3}),\Gamma(\frac{1}{4}),\Gamma(\frac{3}{4}),\Gamma(\frac{1}{6}),\Gamma(\frac{5}{6})\]

  • 미해결 문제. 다음은 초월수인가?

\[\Gamma(\frac{1}{5})\]


메모


역사



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사전형태의 자료



관련도서

  • Emil Artin, The Gamma Function


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