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* 다음과 같은 급수로 복소함수를 정의<br><math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math>, <math>\mathfrak{R}(s)>1</math><br> | * 다음과 같은 급수로 복소함수를 정의<br><math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math>, <math>\mathfrak{R}(s)>1</math><br> | ||
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| − | ==해석적확장 (analytic continuation) | + | ==해석적확장 (analytic continuation)== |
* [[자코비 세타함수]]를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.<br><math>\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}</math><br> | * [[자코비 세타함수]]를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.<br><math>\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}</math><br> | ||
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| − | ==리만제타함수의 함수방정식 | + | ==리만제타함수의 함수방정식== |
* 리만제타함수는 <math>s=\frac{1}{2}</math> 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.<br><math>\xi(s) = \xi(1 - s)</math> 즉,<br><math>\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)</math><br> | * 리만제타함수는 <math>s=\frac{1}{2}</math> 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.<br><math>\xi(s) = \xi(1 - s)</math> 즉,<br><math>\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)</math><br> | ||
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| − | ==복소함수로서의 리만제타함수 | + | ==복소함수로서의 리만제타함수== |
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| − | ==제타values | + | ==제타values== |
* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]] | * [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]] | ||
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* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)|Hurwitz 제타함수]] | * [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)|Hurwitz 제타함수]] | ||
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* analytic continuation 해석적 접속<br> | * analytic continuation 해석적 접속<br> | ||
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| − | ==표준적인 도서 및 추천도서 | + | ==표준적인 도서 및 추천도서== |
* Harold M. Edwards [http://www.amazon.com/Riemanns-Zeta-Function-Harold-Edwards/dp/0486417409 Riemann's Zeta Function] | * Harold M. Edwards [http://www.amazon.com/Riemanns-Zeta-Function-Harold-Edwards/dp/0486417409 Riemann's Zeta Function] | ||
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* [http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/Sarnak_RH.pdf Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis]<br> | * [http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/Sarnak_RH.pdf Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis]<br> | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function | * http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function | ||
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* http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/ | * http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/ | ||
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* [http://www.msri.org/communications/vmath/VMathVideos/VideoInfo/3793/show_video Riemann's zeta function]<br> | * [http://www.msri.org/communications/vmath/VMathVideos/VideoInfo/3793/show_video Riemann's zeta function]<br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 12:48 판
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개요
- 다음과 같은 급수로 복소함수를 정의
\(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\), \(\mathfrak{R}(s)>1\)
- 이렇게 실수부가 1보다 큰 복소수 영역에서 급수로 정의된 함수를 해석적확장을 통해, 복소평면 전체에서 정의된 함수를 정의할 수 있음.
- 그렇게 복소수 전체에서 정의된 함수를 리만의 제타함수라고 부름.
- 리만가설은 리만제타함수의 해에 관련된 미해결문제.
- 정수론에서 소수의 분포와 관련한 정보를 담고 있는 중요한 함수
- 이 함수를 이해하는 좀더 일반적인 이론적 틀에 대해서는 L-함수, 제타함수와 디리클레 급수 항목을 참조
해석적확장 (analytic continuation)
- 자코비 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.
\(\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}\)
- 감마함수
\(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)
를 이용하면,
\(\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}\)
- 형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.
\(\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)
- 그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같이 수정하여, 적분이 모든 s에 대하여 정의되도록 함.
\(\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)
여기서는 자코비 세타함수의 성질
\(\theta({iy)=\frac{1}{\sqrt{y}}\theta(\frac{i}{y})\)
이 사용됨.
- http://people.reed.edu/~jerry/311/zeta.pdf analytic continuation
리만제타함수의 함수방정식
- 리만제타함수는 \(s=\frac{1}{2}\) 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.
\(\xi(s) = \xi(1 - s)\) 즉,
\(\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\)
(증명)
자코비 세타함수의 모듈라 성질을 사용하면,
\(\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}\)
이므로, \(\xi(s)\) 의 정의를 이용하면,
\(\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\)
를 얻는다.
이 식에서 \(s \leftrightarrow 1-s\) 는 우변을 변화시키지 않음므로 함수방정식 \(\xi(s) = \xi(1 - s)\)을 얻는다.
(증명끝)
복소함수로서의 리만제타함수
- meromorphic function
- 1에서 pole 을 가지며 로랑급수 전개는 다음과 같다
\(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))\)
더 정확히는
\(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n\)
\(\gamma_n\)은 스틸체스 상수
리만가설
제타values
메모
하위페이지
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 항목들
수학용어번역==
- analytic continuation 해석적 접속
- 해석적확장으로 하는게 적당해 보임
- continuation 연속
- continuation method 연속법
- direct analytic continuation 직접해석접속
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
표준적인 도서 및 추천도서
- Harold M. Edwards Riemann's Zeta Function
관련논문과 에세이
- Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis
- P Sarnak, 2004
사전형태의 자료
관련링크와 웹페이지
블로그
- Riemann's zeta function
- Williams, Floyd, June 16, 2008, MSRI 'A Window into Zeta and Modular Physics'워크샵
- 리만제타함수의 해석적 연속 및 함수방정식에 대한 내용을 담고 있는 강의
- 피타고라스의 창
\(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\), \(\mathfrak{R}(s)>1\)
\(\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}\)
\(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)
를 이용하면,
\(\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}\)
\(\xi(s) = \xi(1 - s)\) 즉,
\(\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\)
\(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))\)
더 정확히는
\(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n\)
\(\gamma_n\)은 스틸체스 상수
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- 해석적확장으로 하는게 적당해 보임
- continuation 연속
- continuation method 연속법
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관련논문과 에세이
- Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis
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